Sean $p,q$ números de dos dígitos ninguno de los cuales es divisible por $10$. Sea $r$ el número de cuatro dígitos al poner los dígitos de $p$ seguidos por los dígitos de $q$ (en orden). A medida que $p,q$ varían, una computadora imprime $r$ en la pantalla si $\gcd(p,q) = 1$ y $p+q$ divide a $r$. Suponga que el número más grande que es impreso por la computadora es $N$. Determine el número formado por los dos últimos dígitos de $N$ (en el mismo orden).

Considera un triángulo isósceles $ABC$ con lados $BC = 30, CA = AB = 20$. Sea $D$ el pie de la perpendicular de $A$ a $BC$, y sea $M$ el punto medio de $AD$. Sea $PQ$ una cuerda de la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$, tal que $M$ se encuentra en $PQ$ y $PQ$ es paralela a $BC$. La longitud de $PQ$ es:

Sea $f: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ una función que satisface la relación $4f(3-x) + 3f(x) = x^2$ para cualquier $x$ real. Encuentra el valor de $f(27) - f(25)$ al entero más cercano. (Aquí $\mathbb{R}$ denota el conjunto de números reales.)

Sea $X$ el conjunto que consiste en veinte enteros positivos $n,n+2,...,n+38$. El valor más pequeño de $n$ para el cual cualesquiera tres números $a,b,c \in X$, no necesariamente distintos, forman los lados de un triángulo acutángulo es:

Inicialmente, hay $3^{80}$ partículas en el origen $(0,0)$. En cada paso las partículas se mueven a puntos por encima del eje $x$ como sigue: si hay $n$ partículas en cualquier punto $(x,y)$, entonces $\Bigl \lfloor \frac{n}{3} \Bigr\rfloor$ de ellas se mueven a $(x+1,y+1)$, $\Bigl \lfloor \frac{n}{3} \Bigr\rfloor$ se mueven a $(x,y+1)$ y las restantes a $(x-1,y+1)$, Por ejemplo, después del primer paso, hay $3^{79}$ partículas cada una en $(1,1),(0,1)$ y $(-1,1)$. Después del segundo paso, hay $3^{78}$ partículas cada una en $(-2,2)$ y $(2,2)$, $2 \times 3^{78}$ partículas cada una en $(-1,2)$ y $(1,2)$, y $3^{79}$ partículas en $(0,2)$. Después de $80$ pasos, el número de partículas en $(79,80)$ es:

Tres enteros positivos $a,b,c$ con $a>c$ satisfacen las siguientes ecuaciones : $$ac + b+c = bc + a + 66, \; \; \; \; a+b+c=32$$ Encuentra el valor de $a$.

Considera un cuadrado $ABCD$ de lado de longitud $16$. Sean $E,F$ puntos en $CD$ tales que $CE = EF = FD$. Sean la línea $BF$ y $AE$ se intersecan en $M$. El área de $\bigtriangleup MAB$ es:

Los números reales positivos $a,b,c,$ satisfacen: $$\frac{a}{2b+1} + \frac{2b}{3c+1} + \frac{3c}{a+1} = 1$$ $$\frac{1}{a+1} + \frac{1}{2b+1} + \frac{1}{3c+1} = 2$$ ¿Cuál es el valor de $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Determina el número de valores integrales positivos de $p$ para los cuales existe un triángulo con lados $a,b,$ y $c$ que satisfacen $$a^2 + (p^2 + 9)b^2 + 9c^2 - 6ab - 6pbc = 0.$$

Considera la rejilla de puntos $X = \{(m,n) | 0 \leq m,n \leq 4 \}$. Decimos que un par de puntos $\{(a,b),(c,d)\}$ en $X$ es un par de movimiento de caballo si $( c = a \pm 2$ y $d = b \pm 1)$ o $( c = a \pm 1$ y $d = b \pm 2)$. El número de pares de movimiento de caballo en $X$ es: