Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico. La línea paralela a $BD$ que pasa por $A$ se encuentra con la línea paralela a $AC$ que pasa por $B$ en $E$ . La circunferencia circunscrita del triángulo $ABE$ se encuentra con las líneas $EC$ y $ED$ , de nuevo, en $F$ y $G$ , respectivamente. Demuestra que las líneas $AB, CD$ y $FG$ son paralelas o concurrentes.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, con $AB \ne AC$ . Sea $D$ el punto medio del segmento de línea $BC$ , y sean $E$ y $F$ las proyecciones de $D$ sobre los lados $AB$ y $AC$ , respectivamente. Si $M$ es el punto medio del segmento de línea $EF$ , y $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$ , demuestra que las líneas $DM$ y $AO$ son paralelas.

Determina los números primos $p$ para los cuales el número $a = 7^p - p - 16$ es un cuadrado perfecto.

Considera un tablero de $ 2018\times 2018$. Un 'LC-tile' es una baldosa que consiste en $9$ cuadrados unitarios, que tiene la forma de la figura de abajo. ¿Cuál es el número máximo de 'LC-tiles' que se pueden colocar en el tablero sin superponerlas? (Cada uno de los $9$ cuadrados unitarios de la baldosa debe cubrir uno de los cuadrados unitarios del tablero; una baldosa puede girarse, voltearse, etc.)

Sea $A =\left\{a = q + \frac{1}{q }/ q \in Q^*,q > 0 \right\}$ , $A + A = \{a + b |a,b \in A\}$ , $A \cdot A =\{a \cdot b | a, b \in A\}$ . Demuestra que: i) $A + A \ne A \cdot A$ ii) $(A + A) \cap N = (A \cdot A) \cap N$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$ con $AB< BC$ sea $BH_b$ su altura, y sea $O$ el circuncentro. Una línea que pasa por $H_b$ paralela a $CO$ se encuentra con $BO$ en $X$ . Demuestra que $X$ y los puntos medios de $AB$ y $AC$ son colineales.

Determina todas las ternas de números reales $(a,b,c)$ que satisfacen simultáneamente las ecuaciones: $$\begin{cases} a(b^2 + c) = c(c + ab) \\ b(c^2 + a) = a(a + bc) \\ c(a^2 + b) = b(b + ca) \end{cases}$$

Para $n \ge 2$ , considera $n$ cajas alineadas de izquierda a derecha. En cada caja, se pone una bola que puede ser roja, azul o blanca, de tal manera que se cumpla la siguiente condición: Cada caja es vecina de al menos una caja que contiene una bola del mismo color. Denotamos por $I_n$ el número de tales configuraciones. a) Determina $I_{11}$ . Justifica tu respuesta. b) Encuentra, con prueba, la fórmula general para $I_n$ .

Sea $D$ un punto único en el segmento $BC$ , en $ABC$ . Si $AD^2 = BD \cdot CD$ , demuestra que $AB + AC = \sqrt{2}BC$ .

Sean $x, y,z$ números reales positivos que satisfacen $2x^2+3y^2+6z^2+12(x+y+z) =108$ . Encuentra el valor máximo de $x^3y^2z$ .