Sea $ABC$ un triángulo equilátero con lado de longitud $10$. Un cuadrado $PQRS$ está inscrito en él, con $P$ en $AB, Q, R$ en $BC$ y $S$ en $AC$. Si el área del cuadrado $PQRS$ es $m +n\sqrt{k}$ donde $m, n$ son enteros y $k$ es un número primo, entonces determina el valor de $\sqrt{\frac{m+n}{k^2}}$.

Los lados del triángulo son $x$ , $2x+1$ y $x+2$ para algún $x$ racional positivo. El ángulo del triángulo es de $60$ grados. Halla el perímetro

Sea $A = \{m : m$ un entero y las raíces de $x^2 + mx + 2020 = 0$ son enteros positivos $\}$ y $B= \{n : n$ un entero y las raíces de $x^2 + 2020x + n = 0$ son enteros negativos $\}$. Supón que $a$ es el elemento más grande de $A$ y $b$ es el elemento más pequeño de $B$. Halla la suma de los dígitos de $a + b$.

Los números primos $a,b$ y $c$ son tales que $a+b^2=4c^2$. Determina la suma de todos los valores posibles de $a+b+c$.

Sean $A$ y $B$ dos conjuntos finitos tales que hay exactamente $144$ conjuntos que son subconjuntos de $A$ o subconjuntos de $B$. Halla el número de elementos en $A \cup B$.

Halla el número de ternas ordenadas $(x,y,z)$ de números reales que satisfacen el sistema de ecuaciones: $x+y+z=7; x^2+y^2+z^2=27; xyz=5$.

Halla el mayor número de $2$ dígitos $N$ que es divisible por $4$, tal que todas las potencias integrales de $N$ terminan con $N$.

$a,b,c$ son números reales positivos tales que $a^2+b^2=c^2$ y $ab=c$. Determina el valor de $\left\lvert{\frac{(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}{c^2}}\right\rvert$

Sea $ABCD$ un cuadrado con lado de longitud $100$. Se dibuja un círculo con centro $C$ y radio $CD$. Se dibuja otro círculo de radio $r$, que se encuentra dentro de $ABCD$, para que toque este círculo externamente y de modo que el círculo también toque $AB$ y $AD$. Si $r=m+n\sqrt{k}$, donde $m,n$ son enteros y $k$ es un número primo, halla el valor de $\frac{m+n}k$.

Halla el número de enteros positivos $n$ tales que la mayor potencia de $7$ que divide a $n!$ es $8$.