Sean $M, N, P, Q$ puntos en los lados $AB, BC, CD, DA$ de un cuadrilátero convexo $ABCD$ tales que $AQ = DP = CN = BM$ . Demuestre que si $MNPQ$ es un cuadrado, entonces $ABCD$ también es un cuadrado.

Suponga que $n$ polígonos de área $s = (n - 1)^2$ se colocan en un polígono de área $S = \frac{n(n - 1)^2}{2}$ . Demuestre que existen dos de los $n$ polígonos más pequeños cuya intersección tiene un área de al menos $1$ .

La secuencia $ (x_n)$ se define por $ x_1=1,x_2=a$ y $ x_n=(2n+1)x_{n-1}-(n^2-1)x_{n-2}$ $ \forall n \geq 3$ , donde $ a \in N^*$ . ¿Para qué valor de $a$ la secuencia tiene la propiedad de que $ x_i|x_j$ siempre que $ i<j$ ?

Sean $m,n$ enteros positivos, mayores que 2. Encuentre el número de polinomios de grado $2n-1$ con coeficientes distintos del conjunto $\left\{ 1,2,\ldots,m\right\}$ que son divisibles por $x^{n-1}+x^{n-2}+\ldots+1.$

Sea $n \geq 6$ y $3 \leq p < n - p$ dos enteros. Los vértices de un $n$ -ágono regular están coloreados de modo que $p$ vértices son rojos y los otros son negros. Demuestre que existen dos polígonos congruentes con al menos $[p/2] + 1$ vértices, uno con todos los vértices rojos y el otro con todos los vértices negros.

Encuentre todos los enteros positivos $x,y,z,t$ tales que $x,y,z$ son coprimos por pares y $ (x + y)(y + z)(z + x) = xyzt$ .

Sea AD la altitud de un triángulo ABC y E, F los incentros de los triángulos ABD y ACD, respectivamente. La línea EF se encuentra con AB y AC en K y L. Demuestre que AK=AL si y solo si AB=AC o A=90

Sea $a$ un número real, $a>1.$ Encuentra los números reales $b \ge 1$ tales que $$\lim_{x \to \infty} \int\limits_0^x (1+t^a)^{-b} \mathrm{d}t=1.$$

Sea $G$ un grupo finito y sean $x_1,…,x_n$ una enumeración de sus elementos. Consideramos la matriz $(a_{ij})_{1 \le i,j \le n},$ donde $a_{ij}=0$ si $x_ix_j^{-1}=x_jx_i^{-1},$ y $a_{ij}=1$ en caso contrario. Encuentra la paridad del entero $\det(a_{ij}).$

Sea $n$ un entero positivo y $f:[0,1] \to \mathbb{R}$ una función integrable. Demuestra que existe un punto $c \in \left[0,1- \frac{1}{n} \right],$ tal que $ \int\limits_c^{c+\frac{1}{n}}f(x)\mathrm{d}x=0$ o $\int\limits_0^c f(x) \mathrm{d}x=\int\limits_{c+\frac{1}{n}}^1f(x)\mathrm{d}x.$