Sean $x,y,z$ tres números reales positivos distintos. Determine si los tres números reales \[ \left| \frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right| ,\left| \frac{y}{z} - \frac{z}{y}\right |, \left| \frac{z}{x} - \frac{x}{z}\right| \] pueden ser las longitudes de los lados de un triángulo.

En un cuadrilátero $ABCD$ , se da que $AB$ es paralelo a $CD$ y las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares entre sí. Demuestre que (a) $AD \cdot BC \geq AB \cdot CD$ (b) $AD + BC \geq AB + CD.$

Resuelva para $x$ real : \[ \frac{1}{[x]} + \frac{1}{[2x]} = x - [x] + \frac{1}{3}. \]

Para cada entero positivo $n$ , defina $a_n = 20 + n^2$ y $d_n = gcd(a_n, a_{n+1})$ . Encuentre el conjunto de todos los valores que toma $d_n$ y muestre con ejemplos que cada uno de estos valores se alcanza.

Sea $P$ un punto interior de un triángulo $ABC$ y sean $BP$ y $CP$ que se intersecan con $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ respectivamente. Si $S_{BPF} = 4$ , $S_{BPC} = 8$ y $S_{CPE} = 13$ , encuentre $S_{AFPE}.$

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo arbitrario. Para cualquier punto $ P$ que se encuentre dentro del triángulo, sean $ D$ , $ E$ , $ F$ los pies de las perpendiculares desde $ P$ hacia los lados $ AB$ , $ BC$ , $ CA$ respectivamente. Determine el conjunto de todas las posiciones posibles del punto $ P$ para las cuales el triángulo $ DEF$ es isósceles. ¿Para qué posición de $ P$ el triángulo $ DEF$ se volverá equilátero?

El triángulo $ ABC$ es escaleno con el ángulo $ A$ que tiene una medida mayor que 90 grados. Determine el conjunto de puntos $ D$ que se encuentran en la línea extendida $ BC$ , para los cuales \[ |AD|=\sqrt{|BD| \cdot |CD|}\] donde $ |BD|$ se refiere a la distancia (positiva) entre $ B$ y $ D$ .

Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ los lados de un triángulo. Demuestre que la cantidad \[ \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\] debe estar entre los límites $ 3/2$ y 2. ¿Puede la igualdad mantenerse en cualquiera de los límites?

Considere la colección de todos los subconjuntos de tres elementos extraídos del conjunto $ \{1,2,3,4,\dots,299,300\}$ . Determine el número de aquellos subconjuntos para los cuales la suma de los elementos es un múltiplo de 3.

Sea $ f$ una función definida en el conjunto de los enteros no negativos y que toma valores en el mismo conjunto. Dado que (a) $ \displaystyle x - f(x) = 19\left[\frac{x}{19}\right] - 90\left[\frac{f(x)}{90}\right]$ para todos los enteros no negativos $ x$ ; (b) $ 1900 < f(1990) < 2000$ , encuentre los posibles valores que $ f(1990)$ puede tomar. (Notación: aquí $ [z]$ se refiere al entero más grande que es $ \leq z$ , por ejemplo, $ [3.1415] = 3$ ).