Sea $N=6+66+666+....+666..66$, donde hay cien $6's$ en el último término de la suma. ¿Cuántas veces aparece el dígito $7$ en el número $N$?

Si $a, b, c \ge 4$ son enteros, no todos iguales, y $4abc = (a+3)(b+3)(c+3)$, ¿cuál es el valor de $a+b+c$?

Los triángulos $ABC$ y $DEF$ son tales que $\angle A = \angle D, AB = DE = 17, BC = EF = 10$ y $AC - DF = 12$. ¿Cuál es $AC + DF$ ?

Cuál es el valor de $ { \sum_{1 \le i< j \le 10}(i+j)}_{i+j=odd} $ $ - { \sum_{1 \le i< j \le 10}(i+j)}_{i+j=even} $

Sean $a$ y $b$ números naturales tales que $2a-b$, $a-2b$ y $a+b$ son todos cuadrados distintos. ¿Cuál es el valor posible más pequeño de $b$?

Si $x = cos 1^o cos 2^o cos 3^o...cos 89^o$ y $y = cos 2^o cos 6^o cos 10^o...cos 86^o$, entonces, ¿cuál es el entero más cercano a $\frac27 \log_2 \frac{y}{x}$?

En un triángulo $ABC$, rectángulo en $A$, la altura desde $A$ y la bisectriz interna de $\angle A$ tienen longitudes $3$ y $4$, respectivamente. Encuentre la longitud de la mediana desde $A$.

Determine el número de $8$ - tuplas $(\epsilon_1, \epsilon_2,...,\epsilon_8)$ tales que $\epsilon_1, \epsilon_2, ..., 8 \in \{1,-1\}$ y $\epsilon_1 + 2\epsilon_2 + 3\epsilon_3 +...+ 8\epsilon_8$ es un múltiplo de $3$.

Hay varias tazas de té en la cocina, algunas con asas y otras sin asas. El número de formas de seleccionar dos tazas sin asa y tres con asa es exactamente $1200$. ¿Cuál es el número máximo posible de tazas en la cocina?

10 En un triángulo $ABC$ , la mediana de $B$ a $CA$ es perpendicular a la mediana de $C$ a $AB$ . Si la mediana de $A$ a $BC$ es $30$ , determine $\frac{BC^2 + CA^2 + AB^2}{100}$ .