Sea $\{A_n | n = 1, 2, \cdots \} $ un conjunto de puntos en el plano tal que para cada $n$ , el disco con centro $A_n$ y radio $2^n$ no contiene ningún otro punto $A_j$ . Para cualquier número real positivo dado $a < b$ y $R$ , demuestre que existe un subconjunto $G$ del plano que satisface: (i) el área de $G$ es mayor o igual que $R$ ; (ii) para cada punto $P$ en $G$ , $a < \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{|A_nP|} <b.$

En una escuela se imparten seis cursos diferentes: matemáticas, física, biología, música, historia, geografía. Se requirió a los estudiantes que clasificaran estos cursos de acuerdo con sus preferencias, donde se permitieron preferencias iguales. Resultó que: (i) las matemáticas se clasificaron entre los cursos más preferidos por todos los estudiantes; (ii) ningún estudiante clasificó la música entre los menos preferidos; (iii) todos los estudiantes prefirieron la historia a la geografía y la física a la biología; y (iv) no hubo dos clasificaciones iguales. Encuentre el mayor valor posible para el número de estudiantes en esta escuela.

Matías tiene una hoja de papel rectangular $ABCD$, con $AB<AD$. Inicialmente, dobla la hoja a lo largo de una línea recta $AE$, donde $E$ es un punto en el lado $DC$, de modo que el vértice $D$ se encuentra en el lado $BC$, como se muestra en la figura. Luego dobla la hoja nuevamente a lo largo de una línea recta $AF$, donde $F$ es un punto en el lado $BC$, de modo que el vértice $B$ se encuentra en la línea $AE$; y finalmente dobla la hoja a lo largo de la línea $EF$. Matías observó que los vértices $B$ y $C$ se encontraban en el mismo punto del segmento $AE$ después de realizar los pliegues. Calcular la medida del ángulo $\angle DAE$.

Los vértices de un polígono regular de $N$ lados están marcados en la pizarra. Ana y Beto juegan alternativamente, Ana comienza. Cada jugador, en su turno, debe hacer lo siguiente: $\bullet$ unir dos vértices con un segmento, sin cortar otro segmento ya marcado; o $\bullet$ eliminar un vértice que no pertenezca a ningún segmento marcado. El jugador que no pueda realizar ninguna acción en su turno pierde el juego. Determine cuál de los dos jugadores puede garantizar la victoria: a) si $N=28$ b) si $N=29$

Sea $ABCD$ un cuadrado, $E$ un punto en el lado $CD$, y $F$ un punto dentro del cuadrado tal que el triángulo $BFE$ es isósceles y $\angle BFE = 90^o$. Si $DF=DE$, encuentre la medida del ángulo $\angle FDE$.

Sea $ABC$ un triángulo y $D$ es un punto dentro del triángulo, tal que $\angle DBC=60^{\circ}$ y $\angle DCB=\angle DAB=30^{\circ}$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AC$ y $BC$, respectivamente. Pruebe que $\angle DMN=90^{\circ}$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo, recto en $B$, y sea $M$ el punto medio del lado $BC$. Sea $P$ el punto en la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ tal que $PM$ es perpendicular a $BC$ ($P$ está fuera del triángulo $ABC$). Determine el área del triángulo $ABC$ si $PM = 1$ y $MC = 5$.

Consideramos los n vértices de un polígono regular de n lados. Se tiene un conjunto de triángulos con vértices en estos n puntos con la propiedad que para cada triángulo del conjunto, al menos uno de sus lados no es lado de ningún otro triángulo del conjunto. ¿Cuál es la mayor cantidad de triángulos que puede tener el conjunto?

En los lados $AB, BC$ y $CA$ de un triángulo $ABC$ se encuentran los puntos $P, Q$ y $R$ respectivamente, tales que $BQ = 2QC, CR = 2RA$ y $\angle PRQ = 90^o$. Demuestre que $\angle APR =\angle RPQ$.

Cada punto en un círculo se colorea con uno de $10$ colores. ¿Es cierto que para cualquier coloración hay $4$ puntos del mismo color que son vértices de un cuadrilátero con dos lados paralelos (un trapecio isósceles o un rectángulo)?