Sea $D$ un punto interior del lado $BC$ de un triángulo $ABC$. Sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ respectivamente. Sean $AI_1$ y $AI_2$ que se encuentran con $BC$ en $E$ y $F$ respectivamente. Si $\angle BI_1E = 60^o$, ¿cuál es la medida de $\angle CI_2F$ en grados?

Sea $N$ el número de formas de distribuir $8$ chocolates de diferentes marcas entre $3$ niños de modo que cada niño obtenga al menos un chocolate, y no dos niños obtengan el mismo número de chocolates. Encuentra la suma de los dígitos de $N$.

¿Cuál es el número de formas en que se pueden colorear los cuadrados de un tablero de ajedrez de $4\times 4$ con los colores rojo y azul de tal manera que cada fila y cada columna tenga exactamente dos cuadrados rojos y dos cuadrados azules?

¿Cuál es el número de formas en que se pueden elegir $60$ cuadrados unitarios de un tablero de ajedrez de $11 \times 11$ de modo que dos cuadrados elegidos no tengan un lado en común?

Sea $T$ el entero positivo más pequeño que, cuando se divide por $11,13,15$ deja restos en los conjuntos { $7,8,9$ } , { $1,2,3$ } , { $4,5,6$ } respectivamente. ¿Cuál es la suma de los cuadrados de los dígitos de $T$ ?

Si $N$ es el número de triángulos de diferentes formas (es decir, no similares) cuyos ángulos son todos enteros (en grados), ¿cuál es $\frac{N}{100}$ ?

¿Cuál es el entero positivo más grande $n$ tal que $$\frac{a^2}{\frac{b}{29} + \frac{c}{31}}+\frac{b^2}{\frac{c}{29} + \frac{a}{31}}+\frac{c^2}{\frac{a}{29} + \frac{b}{31}} \ge n(a+b+c)$$ se cumple para todos los números reales positivos $a,b,c$ ?

Se dice que un entero positivo $k$ es bueno si existe una partición de $ \{1, 2, 3,..., 20\}$ en subconjuntos propios disjuntos tales que la suma de los números en cada subconjunto de la partición es $k$. ¿Cuántos números buenos hay?

Sea $\Delta ABC$ un triángulo acutángulo y sea $H$ su ortocentro. Sean $G_1, G_2$ y $G_3$ los centroides de los triángulos $\Delta HBC , \Delta HCA$ y $\Delta HAB$ respectivamente. Si el área de $\Delta G_1G_2G_3$ es $7$ unidades, ¿cuál es el área de $\Delta ABC$ ?

Determine la suma de todos los enteros positivos posibles $n, $ cuyo producto de dígitos es igual a $n^2 -15n -27$.