9 Suponga que $a, b$ son enteros y $a+b$ es una raíz de $x^2 +ax+b = 0$ . ¿Cuál es el valor máximo posible de $b^2$ ?

8 Sea $AB$ una cuerda de un círculo con centro $O$ . Sea $C$ un punto en el círculo tal que $\angle ABC =30^o$ y $O$ se encuentra dentro del triángulo $ABC$ . Sea $D$ un punto en $AB$ tal que $\angle DCO = \angle OCB = 20^o$ . Encuentra la medida de $\angle CDO$ en grados.

7 Un punto $P$ en el interior de un hexágono regular está a distancias de $8,8,16$ unidades de tres vértices consecutivos del hexágono, respectivamente. Si $r$ es el radio de la circunferencia circunscrita del hexágono, ¿cuál es el entero más cercano a $r$ ?

6 Enteros $a, b, c$ satisfacen $a+b-c=1$ y $a^2+b^2-c^2=-1$ . ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $a^2+b^2+c^2$ ?

Sea $ABCD$ un trapecio en el que $AB //CD$ y $AD \perp AB$. Suponga que $ABCD$ tiene un incírculo que toca a $AB$ en $Q$ y a $CD$ en $P$. Dado que $PC = 36$ y $QB = 49$, encuentre $PQ$.

La ecuación $166 \times 56 = 8590$ es válida en alguna base $b \ge 10$ (es decir, $1, 6, 5, 8, 9, 0$ son dígitos en base $b$ en la ecuación anterior). Encuentre la suma de todos los valores posibles de $b \ge 10$ que satisfacen la ecuación.

Considere todos los números de $6$ dígitos de la forma $abccba$ donde $b$ es impar. Determine el número de todos esos números de $6$ dígitos que son divisibles por $7$.

En un cuadrilátero ABCD, se da que AB = AD = 13, BC = CD = 20, BD = 24. Si r es el radio del círculo inscribible en el cuadrilátero, ¿cuál es el entero más cercano a r?

Un libro se publica en tres volúmenes, las páginas están numeradas desde $1$ en adelante. Los números de página continúan desde el primer volumen hasta el segundo y hasta el tercero. El número de páginas en el segundo volumen es $50$ más que en el primer volumen, y el número de páginas en el tercer volumen es una vez y media el del segundo. La suma de los números de página en las primeras páginas de los tres volúmenes es $1709$. Si $n$ es el último número de página, ¿cuál es el factor primo más grande de $n$?

Encuentre el número de pares no ordenados $\{ A,B \}$ de subconjuntos de un conjunto $X$ de n elementos que satisfacen lo siguiente: (a) $A \not= B$ (b) $A \cup B = X$