En un paralelogramo $ABCD$, sea $M$ el punto en el lado $BC$ tal que $MC = 2BM$ y sea $N$ el punto del lado $CD$ tal que $NC = 2DN$. Si la distancia desde el punto $B$ a la línea $AM$ es $3$, calcule la distancia desde el punto $N$ a la línea $AM$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $\angle ABC = \angle ADC = 90º$ y $\angle BCD$ > $90º$. Sea $P$ un punto dentro de $ABCD$ tal que $BCDP$ es un paralelogramo, la línea $AP$ interseca a $BC$ en $M$. Si $BM = 2, MC = 5, CD = 3$. Encuentre la longitud de $AM$.

Rosa y Sara juegan con un triángulo $ABC$, recto en $B$. Rosa comienza marcando dos puntos interiores de la hipotenusa $AC$, luego Sara marca un punto interior de la hipotenusa $AC$ diferente de los de Rosa. Luego, desde estos tres puntos se dibujan las perpendiculares a los lados $AB$ y $BC$, formando la siguiente figura. Sara gana si el área de la superficie sombreada es igual al área de la superficie no sombreada, en otro caso gana Rosa. Determine cuál de las dos tiene una estrategia ganadora.

En un triángulo $ABC$, sean $D$ y $E$ puntos de los lados $BC$ y $AC$ respectivamente. Los segmentos $AD$ y $BE$ se intersecan en $O$. Suponga que la línea que conecta los puntos medios del triángulo y es paralela a $AB$, biseca el segmento $DE$. Demuestre que el triángulo $ABO$ y el cuadrilátero $ODCE$ tienen áreas iguales.

Si tiene $65$ puntos en un plano, haremos las líneas que pasan por dos puntos cualesquiera en este plano y obtendremos exactamente $2015$ líneas distintas, pruebe que al menos $4$ puntos son colineales!

Sea $ABCDEFGHI$ un polígono regular de $9$ lados. Los segmentos $AE$ y $DF$ se intersecan en $P$. Demuestre que $PG$ y $AF$ son perpendiculares.

En un cuadrilátero convexo $ABCD$, sean $M$, $N$, $P$ y $Q$ los puntos medios de $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$ respectivamente. Si $MP$ y $NQ$ dividen a $ABCD$ en cuatro cuadriláteros con la misma área, pruebe que $ABCD$ es un paralelogramo.

Muchos puntos distintos están marcados en el plano. Un estudiante dibuja todos los segmentos determinados por esos puntos, y luego dibuja una línea r que no pasa por ninguno de los puntos marcados, pero corta exactamente $60$ segmentos dibujados. ¿Cuántos segmentos no fueron cortados por r? Dar todas las posibilidades.

Construya el punto medio de un segmento usando una regla sin marcas y un triseктор que marca en un segmento los dos puntos que dividen el segmento en tres partes iguales.

Se dan seis puntos de modo que no haya tres en la misma línea y que las longitudes de los segmentos determinados por estos puntos sean todas diferentes. Consideramos todos los triángulos que tienen sus vértices en estos puntos. Demuestre que existe un segmento que es a la vez el lado más corto de uno de esos triángulos y el lado más largo de otro.