Encuentre todas las soluciones enteras positivas $(x, y, z)$ de la ecuación $1 + 2^x \cdot 7^y=z^2$ .

Como se muestra en la figura , el círculo inscrito de $ABC$ se interseca con $BC$ , $CA$ , $AB$ en los puntos $D$ , $E$ , $F$ , respectivamente, y $P$ es un punto dentro del círculo inscrito. Los segmentos de línea $PA$ , $PB$ y $PC$ se intersecan respectivamente con el círculo inscrito en los puntos $X$ , $Y$ y $Z$ . Pruebe que las tres líneas $XD$ , $YE$ y $ZF$ tienen un punto en común.

Se sabe que el término general $\{a_n\}$ de la secuencia es $a_n =(\sqrt3 +\sqrt2)^{2n}$ ( $n \in N*$ ) , sea $b_n= a_n +\frac{1}{a_n}$ . (1) Encuentre la relación de recurrencia entre $b_{n+2}$ , $b_{n+1}$ , $b_n$ . (2) Encuentre el dígito de las unidades de la parte entera de $a_{2011}$ .

Defina una figura construida por cuadrados unitarios 'estrella cruzada' si satisface las siguientes condiciones: $(1)$ La barra cuadrada $AB$ es bisecada por la barra cuadrada $CD$ $(2)$ Al menos un cuadrado de $AB$ se encuentra en ambos lados de $CD$ $(3)$ Al menos un cuadrado de $CD$ se encuentra en ambos lados de $AB$ Hay una hoja de cuadrícula rectangular compuesta por $38\times 53=2014$ cuadrados, encuentre el número de tales estrella cruzada en esta hoja rectangular.

Demuestre que hay infinitos tríos de enteros positivos $(a_i,b_i,c_i)$ , $i=1,2,3,\ldots$ , que satisfacen la ecuación $a^2+b^2=c^4$ , tales que $c_n$ y $c_{n+1}$ son coprimos para cualquier entero positivo $n$.

Sea $\omega_{1}$ un círculo con centro $O$ . $P$ es un punto en $\omega_{1}$ . $\omega_{2}$ es un círculo con centro $P$ , con radio menor que $\omega_{1}$ . $\omega_{1}$ se encuentra con $\omega_{2}$ en los puntos $T$ y $Q$ . Sea $TR$ un diámetro de $\omega_{2}$ . Dibuje otros dos círculos con $RQ$ como el radio, $R$ y $P$ como los centros. Estos dos círculos se encuentran en el punto $M$ , con $M$ y $Q$ situados en el mismo lado de $PR$ . Un círculo con centro $M$ y radio $MR$ interseca a $\omega_{2}$ en $R$ y $N$ . Pruebe que un círculo con centro $T$ y radio $TN$ pasa por $O$.

Sea $p$ un primo, $x,y,z $ sean enteros positivos tales que $x<y<z<p$ y $\{\frac{x^3}{p}\}=\{\frac{y^3}{p}\}=\{\frac{z^3}{p}\}$ . Pruebe que $(x+y+z)|(x^5+y^5+z^5).$

Sea $n\geq 4$ un entero positivo. De $n$ personas, cada dos individuos juegan un partido de tenis de mesa (cada partido tiene un ganador). Encuentre el valor mínimo de $n$ , tal que para cualquier resultado posible del juego, siempre existe un grupo ordenado de cuatro personas $(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})$ , tal que la persona $a_{i}$ gana contra $a_{j}$ para cualquier $1\leq i<j\leq 4$.

Sean $ a,b,c$ números reales positivos tales que $ a^3 + b^3 = c^3$ . Demuestre que: $ a^2 + b^2 - c^2 > 6(c - a)(c - b)$ .

Sea $ ABC$ un triángulo acutángulo y sea $ H$ su ortocentro. Sea $ h_{max}$ la altitud más grande del triángulo $ ABC$ . Demuestre que: $AH + BH + CH\leq2h_{max}$