Encuentre todos los números naturales $n>3$, tales que $2^{2000}$ es divisible por $1+C^1_n+C^2_n+C^3_n$.

En $\triangle ABC$ , $AB>AC$ , $l$ es una línea tangente del círculo circunscrito de $\triangle ABC$ , que pasa por $A$ . El círculo, centrado en $A$ con radio $AC$ , interseca a $AB$ en $D$ , y a la línea $l$ en $E, F$ . Demuestre que las líneas $DE, DF$ pasan por el incentro y un excentro de $\triangle ABC$ respectivamente.

Llamamos $ A_1, A_2, \ldots, A_n$ una $ n$ - división de $ A$ si (i) $ A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n = A$ , (ii) $ A_i \cap A_j \neq \emptyset$ . Encuentra el entero positivo más pequeño $ m$ tal que para cualquier $ 14$ - división $ A_1, A_2, \ldots, A_{14}$ de $ A = \{1, 2, \ldots, m\}$ , existe un conjunto $ A_i$ ( $ 1 \leq i \leq 14$ ) tal que hay dos elementos $ a, b$ de $ A_i$ tales que $ b < a \leq \frac {4}{3}b$ .

Encuentra, con prueba, todos los números reales $ x \in \lbrack 0, \frac {\pi}{2} \rbrack$ , tales que $ (2 - \sin 2x)\sin (x + \frac {\pi}{4}) = 1$ .

$ P$ es un punto en el exterior de un círculo centrado en $ O$ . Las tangentes al círculo desde $ P$ tocan el círculo en $ A$ y $ B$ . Sea $ Q$ el punto de intersección de $ PO$ y $ AB$ . Sea $ CD$ cualquier cuerda del círculo que pasa por $ Q$ . Demuestra que $ \triangle PAB$ y $ \triangle PCD$ tienen el mismo incentro.

Encuentra todos los números reales $ x$ tales que $ \lfloor x^3 \rfloor = 4x + 3$ .

Un disco circular se divide en $ 2n$ sectores iguales mediante $ n$ líneas rectas que pasan por su centro. Luego, estos $ 2n$ sectores se colorean de tal manera que exactamente $ n$ de los sectores se colorean de azul, y los otros $ n$ sectores se colorean de rojo. Numeramos los sectores rojos con números del $ 1$ al $ n$ en dirección contraria a las agujas del reloj (comenzando en algunos de estos sectores rojos), y luego numeramos los sectores azules con números del $ 1$ al $ n$ en dirección de las agujas del reloj (comenzando en algunos de estos sectores azules). Demuestre que se puede encontrar un medio disco que contenga sectores numerados con todos los números del $ 1$ al $ n$ (en algún orden). (En otras palabras, demuestre que se pueden encontrar $ n$ sectores consecutivos que están numerados por todos los números $ 1$ , $ 2$ , ..., $ n$ en algún orden.)

Sea $ P$ un punto interior de un triángulo acutángulo $ ABC$ . Las líneas $ AP,BP,CP$ se encuentran con $ BC,CA,AB$ en los puntos $ D,E,F$ respectivamente. Dado que el triángulo $ \triangle DEF$ y $ \triangle ABC$ son similares, demuestre que $ P$ es el centroide de $ \triangle ABC$ .

Encuentra todos los números naturales $n$ tales que existen $ x_1,x_2,\ldots,x_n,y\in\mathbb{Z}$ donde $x_1,x_2,\ldots,x_n,y\neq 0$ satisfaciendo: \[x_1 + x_2 + \ldots + x_n = 0\] \[ny^2 = x_1^2 + x_2^2 + \ldots + x_n^2\]

¿Existe un triángulo con lados de longitudes enteras tal que la longitud del lado más corto sea $ 2007$ y que el ángulo más grande sea el doble del más pequeño?