Sea $n$ un número natural. Demuestre que una condición necesaria y suficiente para que la ecuación $z^{n+1}-z^n-1=0$ tenga una raíz compleja cuyo módulo sea igual a $1$ es que $n+2$ sea divisible por $6$.

Sea $k$ un entero positivo, y $n=\left(2^k\right)!$ . Demuestre que $\sigma(n)$ tiene al menos un divisor primo mayor que $2^k$ , donde $\sigma(n)$ es la suma de todos los divisores positivos de $n$.

Sea $a\in (0,1)$ , $f(z)=z^2-z+a, z\in \mathbb{C}$ . Demuestre que la siguiente afirmación es válida: Para cualquier número complejo z con $|z| \geq 1$ , existe un número complejo $z_0$ con $|z_0|=1$ , tal que $|f(z_0)| \leq |f(z)|$

Para una secuencia $a_1,a_2,...,a_m$ de números reales, defina los siguientes conjuntos $$A=\{a_i | 1\leq i\leq m\}\ \text{y} \ B=\{a_i+2a_j | 1\leq i,j\leq m, i\neq j\}$$ Sea $n$ un entero dado, y $n>2$. Para cualquier secuencia aritmética estrictamente creciente de enteros positivos, determine, con prueba, el número mínimo de elementos del conjunto $A\triangle B$ , donde $A\triangle B$ $= \left(A\cup B\right) \setminus \left(A\cap B\right).$

Sean $a,b,c,d$ las longitudes de los lados de un cuadrángulo convexo con el área igual a $S$, sea $S =\{x_1, x_2,x_3,x_4\}$ que consiste en permutaciones $x_i$ de $(a, b, c, d)$. Demuestre que $$S \leq \frac{1}{2}(x_1x_2+x_3x_4).$$

Para $100$ líneas rectas en un plano, sea $T$ el conjunto de todos los triángulos rectángulos delimitados por algunas $3$ líneas. Determine, con prueba, el valor máximo de $|T|$ .

Sea el entero $n \ge 2$, y $x_1,x_2,\cdots,x_n $ números reales positivos tales que $\sum_{i=1}^nx_i=1$. Demuestre que $$\left(\sum_{i=1}^n\frac{1}{1-x_i}\right)\left(\sum_{1\le i<j\le n} x_ix_j\right)\le \frac{n}{2}.$$

Dos círculos $ \left(\Omega_1\right),\left(\Omega_2\right) $ son tangentes internamente en el punto $ T $. Sean $ M,N $ dos puntos en el círculo $ \left(\Omega_1\right) $ que son diferentes de $ T $ y $ A,B,C,D $ cuatro puntos en $ \left(\Omega_2\right) $ tales que las cuerdas $ AB, CD $ pasan por $ M,N $ , respectivamente. Demuestre que si $ AC,BD,MN $ tienen un punto común $ K $ , entonces $ TK $ es la bisectriz del ángulo $ \angle MTN $ . * $ \left(\Omega_2\right) $ es más grande que $ \left(\Omega_1\right) $

Sea el entero $n \ge 2$, y $x_1,x_2,\cdots,x_n $ números reales tales que $\sum_{k=1}^nx_k$ sea entero. $d_k=\underset{m\in {Z}}{\min}\left|x_k-m\right| $, $1\leq k\leq n$. Encuentre el valor máximo de $\sum_{k=1}^nd_k$.

Para todos los números naturales $n$ , define $f(n) = \tau (n!) - \tau ((n-1)!)$ , donde $\tau(a)$ denota el número de divisores positivos de $a$ . Demuestra que existen infinitos $n$ compuestos , tales que para todos los naturales $m < n$ , tenemos $f(m) < f(n)$ .