Dado un entero positivo $m$ . Sea $$A_l = (4l+1)(4l+2)...(4(5^m+1)l)$$ para cualquier entero positivo $l$ . Pruebe que existe un número infinito de enteros positivos $l$ que $$5^{5^ml}\mid A_l\text{ and } 5^{5^ml+1}\nmid A_l$$ y encuentre el valor mínimo de $l$ que satisfaga la condición anterior.

Hay $24$ participantes que asistieron a una reunión. Cada dos de ellos se dieron la mano una vez o no. Un total de $216$ apretones de manos ocurrieron en la reunión. Para cualesquiera dos participantes que se hayan dado la mano, a lo sumo $10$ entre los restantes $22$ participantes se han dado la mano con exactamente una de estas dos personas. Defina un círculo de amigos como un grupo de $3$ participantes en el que cada persona se ha dado la mano con las otras dos. Encuentre el valor mínimo posible de círculos de amigos.

En el triángulo isósceles $ABC$ con $AB=AC$ , el centro de $\odot O$ es el punto medio del lado $BC$ , y $AB,AC$ son tangentes al círculo en los puntos $E,F$ respectivamente. El punto $G$ está en $\odot O$ con $\angle AGE = 90^{\circ}$ . Una línea tangente de $\odot O$ pasa por $G$ , y se encuentra con $AC$ en $K$ . Pruebe que la línea $BK$ biseca $EF$ .

Sea $\{a_n\}$ una secuencia real no negativa. Define $$X_k = \sum_{i=1}^{2^k}a_i, Y_k = \sum_{i=1}^{2^k}\left\lfloor \frac{2^k}{i}\right\rfloor a_i, k=0,1,2,...$$ Pruebe que $X_n\le Y_n - \sum_{i=0}^{n-1} Y_i \le \sum_{i=0}^n X_i$ para todo entero positivo $n$ . Aquí $\lfloor\alpha\rfloor$ denota el entero más grande que no excede a $\alpha$ .

¿Existe un conjunto $A\subseteq\mathbb{N}^*$ tal que para cualquier entero positivo $n$ , $A\cap\{n,2n,3n,...,15n\}$ contiene exactamente un elemento? Por favor, pruebe su conclusión.

Sea $O$ el circuncentro del triángulo acutángulo $\triangle ABC$ ( $AB<AC$ ) , la bisectriz del ángulo $\angle BAC$ se encuentra con $BC$ en $T$ y $M$ es el punto medio de $AT$ . El punto $P$ se encuentra dentro del $\triangle ABC$ tal que $PB\perp PC$ . $D,E$ distintos de $P$ se encuentran en la perpendicular a $AP$ que pasa por $P$ tal que $BD=BP, CE=CP$ . Si $AO$ biseca el segmento $DE$ , pruebe que $AO$ es tangente a la circunferencia circunscrita del $\triangle AMP$ .

En un plano cartesiano, si tanto la coordenada horizontal como la coordenada vertical de un punto son números racionales, llamamos al punto punto racional. De lo contrario, lo llamamos punto irracional. Considere un pentágono regular arbitrario en el plano cartesiano. Por favor, compare el número de puntos racionales y el número de puntos irracionales entre los cinco vértices del pentágono. Pruebe su conclusión.

Suponga que $c$ es un número real. Si existe $x\in[1,2]$ tal que $\max\left\{\left |x+\frac cx\right |, \left |x+\frac cx + 2\right |\right\}\geq 5$ , por favor encuentre el rango de valores de $c$ .

Los círculos $O_1$ y $O_2$ se intersecan en dos puntos $B$ y $C,$ y $BC$ es el diámetro del círculo $O_1.$ Construir una línea tangente al círculo $O_1$ en $C$ e intersectando el círculo $O_2$ en otro punto $A.$ Unimos $AB$ para intersectar el círculo $O_1$ en el punto $E,$ luego unimos $CE$ y lo extendemos para intersectar el círculo $O_2$ en el punto $F.$ Asumimos que $H$ es un punto arbitrario en el segmento de línea $AF.$ Unimos $HE$ y lo extendemos para intersectar el círculo $O_1$ en el punto $G,$ y luego unimos $BG$ y lo extendemos para intersectar la línea extendida de $AC$ en el punto $D.$ Demostrar que \[ \frac{AH}{HF} = \frac{AC}{CD}.\]

Encontrar todos los enteros positivos $k$ tales que para cualquier número positivo $a, b$ y $c$ que satisfaga la desigualdad \[ k(ab + bc + ca) > 5(a^2 + b^2 + c^2),\] debe existir un triángulo con $a, b$ y $c$ como la longitud de sus tres lados respectivamente.