Sea $G$ el grafo completo sobre $2015$ vértices. Cada arista de $G$ se tiñe de rojo, azul o blanco. Para un subconjunto $V$ de vértices de $G$ , y un par de vértices $(u,v)$ , define \[ L(u,v) = \{ u,v \} \cup \{ w | w \in V \ni \triangle{uvw} \text{ tiene exactamente 2 lados rojos} \}\] Demuestra que, para cualquier elección de $V$ , existen al menos $120$ valores distintos de $L(u,v)$ .

Sean $x_1,x_2,\cdots,x_n$ $(n\geq2)$ una secuencia monótona no decreciente de números positivos tales que $x_1,\frac{x_2}{2},\cdots,\frac{x_n}{n}$ es una secuencia monótona no creciente .Demuestra que \[ \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i }{n\left (\prod_{i=1}^{n}x_i \right )^{\frac{1}{n}}}\le \frac{n+1}{2\sqrt[n]{n!}}\]

Asume que $p$ es un número primo. Si hay un entero positivo $a$ tal que $p!|(a^p + 1)$ , demuestra que : \n(1) $(a+1, \frac{a^p+1}{a+1}) = p$ \n(2) $\frac{a^p+1}{a+1}$ no tiene factores primos menores que $p$ . \n(3) $p!|(a +1) $ .

Como se muestra en la figura , en el pentágono $ABCDE$ , $BC = DE$ , $CD \parallel BE$ , $AB>AE$ . Si $\angle BAC = \angle DAE$ y $\frac{AB}{BD}=\frac{AE}{ED}$ . Demuestra que $AC$ biseca el segmento de línea $BE$ .

Demuestra que $$(1+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{3^2})\cdots(1+\frac{1}{3^n})< 2.$$

Sea $\{a_n\}$ la secuencia con $a_0=0$ , $a_n=\frac{1}{a_{n-1}-2}$ ( $n\in N_+$ ) . Selecciona un término arbitrario $a_k$ en la secuencia $\{a_n\}$ y construye la secuencia $\{b_n\}$ : $b_0=a_k$ , $b_n=\frac{2b_{n-1}+1} {b_{n-1}}$ ( $n\in N_+$ ) . Determina si la secuencia $\{b_n\}$ es una secuencia finita o una secuencia infinita y da una prueba.

Hay $n$ ( $n \ge 4$ ) líneas rectas en el plano. Para dos líneas rectas $a$ y $b$ , si hay al menos dos líneas rectas entre las $n-2$ líneas restantes que intersecan ambas líneas rectas $a$ y $b$ , entonces $a$ y $b$ se denominan un par congruente de líneas rectas, de lo contrario se denomina un par separado de líneas rectas. Si el número de pares congruentes de líneas rectas entre $n$ líneas rectas es $2012$ más que el número de pares separados de líneas rectas, halla el menor valor posible de $n$ (el orden de las dos líneas rectas en un par no se cuenta).

Supón que $S= \{x|x=a^2+ab+b^2,a,b \in Z\}$ . Demuestra que: \n(1) Si $m \in S$ , $3|m$ , entonces $\frac{m}{3} \in S$ \n(2) Si $m,n \in S$ , entonces $mn\in S$ .

Los enteros positivos $x_1,x_2,...,x_n$ ( $n \in N_+$ ) satisfacen $x_1^2 +x_2^2+...+x_n^2=111$ , halla el máximo valor posible de $S =\frac{x_1 +x_2+...+x_n}{n}$ .

Como se muestra en la figura, dado el $\vartriangle ABC$ rectángulo con $\angle C=90^o$ . $I$ es el incentro. La línea $BI$ interseca el segmento $AC$ en el punto $D$ . La línea que pasa por $D$ paralela a $AI$ interseca a $BC$ en el punto $E$ . La línea $EI$ interseca el segmento $AB$ en el punto $F$ . Demuestra que $DF \perp AI$ .