Sean $a,b,c > 0$ , demuestre que \[\frac{(a-b)^2}{(c+a)(c+b)} + \frac{(b-c)^2}{(a+b)(a+c)} + \frac{(c-a)^2}{(b+c)(b+a)} \geq \frac{(a-b)^2}{a^2+b^2+c^2}\]

¿Existe algún entero impar $n \geq 3$ y $n$ números primos distintos $p_1 , p_2, \cdots p_n$ tales que todos $p_i + p_{i+1} (i = 1,2,\cdots , n$ y $p_{n+1} = p_{1})$ son cuadrados perfectos?

Dado un real positivo $C \geq 1$ y una secuencia $a_1, a_2, a_3, \cdots$ que satisface para cualquier entero positivo $n,$ $a_n \geq 0$ y para cualquier real $x \geq 1$ , $$\n\left|x\lg x-\sum_{k=1}^{[x]}\left[\frac{x}{k}\right]a_k \right| \leq Cx,$$\ndonde $[x]$ se define como el entero más grande que no excede a $x$ . Pruebe que para cualquier real $y \geq 1$ , $$\n\sum_{k=1}^{[y]}a_k < 3Cy.$$\n

Para enteros positivos $m,n,$ defina $f(m,n)$ como el número de ternas ordenadas $(x,y,z)$ de enteros tales que $$\n\begin{cases}\nxyz=x+y+z+m, \\n\max\{|x|,|y|,|z|\} \leq n\n\end{cases}\n$$ ¿Existen enteros positivos $m,n,$ tales que $f(m,n)=2018?$ Por favor, pruebe su conclusión.

Suponga que el entero $m \geq 2.$ Hay $3m$ personas en una reunión, dos cualesquiera de ellas se dan la mano entre sí una vez o no. Llamamos a la reunión ' $n$ - interesante', solo si existen $n(n\leq 3m-1)$ personas de ellas, el número de veces que cada una de ellas da la mano a otras $3m-1$ personas es exactamente $1,2,\cdots,n,$ respectivamente. Si en cualquier reunión ' $n$ - interesante', existen $3$ personas de ellas que se dan la mano entre sí, encuentre el valor mínimo de $n.$

En el triángulo isósceles $ABC$ con $AB=AC$ , el centro de $\odot O$ es el punto medio del lado $BC$ , y $AB,AC$ son tangentes al círculo en los puntos $E,F$ respectivamente. El punto $G$ está en $\odot O$ con $\angle AGE = 90^{\circ}$ . Una línea tangente de $\odot O$ pasa por $G$ , y se encuentra con $AC$ en $K$ . Pruebe que la línea $BK$ biseca $EF$ .

¿Existe un conjunto $A\subseteq\mathbb{N}^*$ tal que para cualquier entero positivo $n$ , $A\cap\{n,2n,3n,...,15n\}$ contiene exactamente un elemento y existen infinitos enteros positivos $m$ tales que $\{m,m+2018\}\subset A$ ? Por favor, pruebe su conclusión.

Sea $O$ el circuncentro del $\triangle ABC$ , donde $\angle ABC> 90^{\circ}$ y $M$ es el punto medio de $BC$ . El punto $P$ se encuentra dentro del $\triangle ABC$ tal que $PB\perp PC$ . $D,E$ distintos de $P$ se encuentran en la perpendicular a $AP$ que pasa por $P$ tal que $BD=BP, CE=CP$ . Si el cuadrilátero $ADOE$ es un paralelogramo, pruebe que $$\angle OPE = \angle AMB.$$

Suponga que $a$ es un número real. La secuencia $a_1,a_2,a_3,....$ satisface $$a_1=a, a_{n+1} = \n\begin{cases}\na_n - \frac{1}{a_n}, & a_n\ne 0 \\n0, & a_n=0\n\end{cases}\n(n=1,2,3,..)$$ Encuentre todos los valores posibles de $a$ tales que $|a_n|<1$ para todo entero positivo $n$ .

En un plano cartesiano, si tanto la coordenada horizontal como la coordenada vertical de un punto son números racionales, llamamos al punto punto racional. De lo contrario, lo llamamos punto irracional. Considere un pentágono regular arbitrario en el plano cartesiano. Por favor, compare el número de puntos racionales y el número de puntos irracionales entre los cinco vértices del pentágono. Pruebe su conclusión.