Consideramos un prisma que tiene como bases superior e inferior los pentágonos: $A_{1}A_{2}A_{3}A_{4}A_{5}$ y $B_{1}B_{2}B_{3}B_{4}B_{5}$. Cada uno de los lados de los dos pentágonos y los segmentos $A_{i}B_{j}$ con $i,j=1,\ldots,5$ está coloreado en rojo o azul. En todo triángulo que tiene todos los lados coloreados existe un lado rojo y un lado azul. Demostrar que los 10 lados de las dos bases están coloreados del mismo color.

Encontrar todos los polinomios $f(x)$ con coeficientes reales para los cuales \[f(x)f(2x^2) = f(2x^3 + x).\]

De una bolsa que contiene 5 pares de calcetines, cada par de un color diferente, se extrae una muestra aleatoria de 4 calcetines individuales. Cualquier par completo en la muestra se descarta y se reemplaza por un nuevo par extraído de la bolsa. El proceso continúa hasta que la bolsa está vacía o hay 4 calcetines de diferentes colores fuera de la bolsa. ¿Cuál es la probabilidad de la última alternativa?

Demostrar que en el plano euclidiano todo polígono regular que tiene un número par de lados puede ser diseccionado en rombos. (Un rombo es un cuadrilátero cuyos cuatro lados son todos de igual longitud).

Encuentre todas las funciones $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tales que $$f(x)+f(yf(x)+f(y))=f(x+2f(y))+xy$$ para todo $x,y\in \mathbb{R}$ .

En un triángulo acutángulo $ABC$ con $|AB| \not= |AC|$ , sea $I$ el incentro y $O$ el circuncentro. La circunferencia inscrita es tangente a $\overline{BC}, \overline{CA}$ y $\overline{AB}$ en $D,E$ y $F$ respectivamente. Pruebe que si la recta paralela a $EF$ que pasa por $I$ , la recta paralela a $AO$ que pasa por $D$ y la altura desde $A$ son concurrentes, entonces el punto de concurrencia es el ortocentro del triángulo $ABC$ .

Sea $n$ un entero positivo. Un tablero de $n\times n$ que consiste de $n^2$ celdas, cada una siendo un cuadrado unitario coloreado ya sea negro o blanco, se llama convexo si para cada celda coloreada de negro, tanto la celda directamente a la izquierda de ella como la celda directamente arriba de ella están también coloreadas de negro. Definimos la belleza de un tablero como el número de pares de sus celdas $(u,v)$ tales que $u$ es negra, $v$ es blanca, y $u$ y $v$ están en la misma fila o columna. Determine la máxima belleza posible de un tablero convexo de $n\times n$.

Para enteros positivos $a$ y $b$ , sea $M(a,b)$ denotar su máximo común divisor. Determine todos los pares de enteros positivos $(m,n)$ tales que para cualesquiera dos enteros positivos $x$ y $y$ tales que $x\mid m$ y $y\mid n$ , $$M(x+y,mn)>1.$$

Sea $u$ un número racional positivo y $m$ un entero positivo. Defina una sucesión $q_1,q_2,q_3,\dotsc$ tal que $q_1=u$ y para $n\geqslant 2$ : $$\text{si }q_{n-1}=\frac{a}{b}\text{ para algunos enteros positivos }a\text{ y }b\text{ relativamente primos, entonces }q_n=\frac{a+mb}{b+1}.$$ Determine todos los enteros positivos $m$ tales que la sucesión $q_1,q_2,q_3,\dotsc$ es eventualmente periódica para cualquier número racional positivo $u$ . Nota: Una sucesión $x_1,x_2,x_3,\dotsc $ es eventualmente periódica si existen enteros positivos $c$ y $t$ tales que $x_n=x_{n+t}$ para todo $n\geqslant c$ .

Sea $ABC$ un triángulo con circuncírculo $\omega$ . Sean $l_B$ y $l_C$ dos rectas que pasan por los puntos $B$ y $C$ , respectivamente, tales que $l_B \parallel l_C$ . Las segundas intersecciones de $l_B$ y $l_C$ con $\omega$ son $D$ y $E$ , respectivamente. Asuma que $D$ y $E$ están en el mismo lado de $BC$ que $A$ . Sea $DA$ intersectar a $l_C$ en $F$ y sea $EA$ intersectar a $l_B$ en $G$ . Si $O$ , $O_1$ y $O_2$ son los circuncentros de los triángulos $ABC$ , $ADG$ y $AEF$ , respectivamente, y $P$ es el circuncentro del triángulo $OO_1O_2$ , pruebe que $l_B \parallel OP \parallel l_C$ .