Prueba que $$ \sum_{m=1}^n5^{\omega (m)} \le \sum_{k=1}^n\lfloor \frac{n}{k} \rfloor \tau (k)^2 \le \sum_{m=1}^n5^{\Omega (m)} .$$

Determine el mayor número real $ C $ , tal que para cada entero positivo $ n\ge 2 $ , existen $ x_1, x_2,..., x_n \in [-1,1]$ , de modo que $$\prod_{1\le i<j\le n}(x_i-x_j) \ge C^{\frac{n(n-1)}{2}}$$.

Dados enteros positivos distintos $ a_1,a_2,…,a_{2020} $ . Para $ n \ge 2021 $ , $a_n$ es el número más pequeño diferente de $a_1,a_2,…,a_{n-1}$ que no divide a $a_{n-2020}...a_{n-2}a_{n-1}$ . Prueba que todo número suficientemente grande aparece en la secuencia.

Dado un entero positivo $ n \ge 5 $ y un polígono convexo $P$ , a saber $ A_1A_2...A_n $ . Ninguna diagonal de $P$ es concurrente. Prueba que es posible elegir un punto dentro de cada cuadrilátero $ A_iA_jA_kA_l (1\le i<j<k<l\le n) $ no en las diagonales de $P$ , tal que los $ \tbinom{n}{4} $ puntos elegidos son distintos, y cualquier segmento que conecte estos puntos se interseca con alguna diagonal de P.

Encuentra la constante real positiva más pequeña $a$, tal que para cualquier tres puntos $A,B,C$ en el círculo unitario, existe un triángulo equilátero $PQR$ con lado de longitud $a$ tal que todos $A,B,C$ se encuentran en el interior o en el borde de $\triangle PQR$.

Sea $n$ un entero positivo y $a_1,a_2,\ldots a_{2n+1}$ sean reales positivos. Para $k=1,2,\ldots ,2n+1$, denote $b_k = \max_{0\le m\le n}\left(\frac{1}{2m+1} \sum_{i=k-m}^{k+m} a_i \right)$, donde los índices se toman módulo $2n+1$. Demuestra que el número de índices $k$ que satisfacen $b_k\ge 1$ no excede $2\sum_{i=1}^{2n+1} a_i$.

Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{Z}^+\rightarrow \mathbb{Z}^+$ tales que para todos los enteros positivos $m,n$ con $m\ge n$, $$f(m\varphi(n^3)) = f(m)\cdot \varphi(n^3).$$ Aquí $\varphi(n)$ denota el número de enteros positivos coprimos con $n$ y que no exceden a $n$.

Dados los enteros positivos $a,b,c$ que son coprimos por pares. Sea $f(n)$ denota el número de la solución entera no negativa $(x,y,z)$ a la ecuación $$ax+by+cz=n.$$ Demuestra que existen constantes $\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}$ tal que para cualquier entero no negativo $n$, $$|f(n)- \left( \alpha n^2+ \beta n + \gamma \right) | < \frac{1}{12} \left( a+b+c \right).$$

Dados los enteros positivos $n,k$ , $n \ge 2$ . Encuentre la constante mínima $c$ que satisface la siguiente afirmación: Para cualquier entero positivo $m$ y un grafo $kn$ - regular $G$ con $m$ vértices, se podrían colorear los vértices de $G$ con $n$ colores diferentes, de modo que el número de aristas monocromáticas sea como máximo $cm$.

Un cuadrilátero cíclico $ABCD$ tiene circunferencia circunscrita $\Gamma$, y $AB+BC=AD+DC$. Sea $E$ el punto medio del arco $BCD$, y $F (\neq C)$ sea el antípoda de $A$ con respecto a $\Gamma$. Sean $I,J,K$ el incentro de $\triangle ABC$, el $A$ - excentro de $\triangle ABC$, el incentro de $\triangle BCD$, respectivamente. Suponga que un punto $P$ satisface $\triangle BIC \stackrel{+}{\sim} \triangle KPJ$. Demuestra que $EK$ y $PF$ se intersecan en $\Gamma.$