Sean $a_1,a_2,\cdots,a_n>0$ $(n\geq 2)$. Demuestra que $$\sum_{i=1}^n max\{a_1,a_2,\cdots,a_i \} \cdot min\{a_i,a_{i+1},\cdots,a_n\}\leq \frac{n}{2\sqrt{n-1}}\sum_{i=1}^n a^2_i$$

Sea $n=2^{\alpha} \cdot q$ un entero positivo, donde $\alpha$ es un entero no negativo y $q$ es un número impar. Demuestra que para cualquier entero positivo $m$, el número de soluciones enteras a la ecuación $x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2=m$ es divisible por $2^{\alpha +1}$.

En el triángulo acutángulo $ABC$, sean $D$ y $E$ puntos en los lados $AB$ y $AC$ respectivamente. Sean los segmentos $BE$ y $DC$ se intersectan en el punto $H$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de los segmentos $BD$ y $CE$ respectivamente. Demuestra que $H$ es el ortocentro del triángulo $AMN$ si y sólo si $B,C,E,D$ son concíclicos y $BE\perp CD$.

Sean $a_1,a_2,\cdots ,a_9$, $9$ enteros positivos (no necesariamente distintos) que satisfacen: para todo $1\le i<j<k\le 9$, existe $l (1\le l\le 9)$ distinto de $i,j$ y $j$ tal que $a_i+a_j+a_k+a_l=100$. Encuentra el número de 9 -tuplas $(a_1,a_2,\cdots ,a_9)$ que satisfacen las condiciones anteriores.

Sean $n$ y $k$ enteros dados tales que $n\ge k\ge 2$. Alicia y Bob juegan un juego en una tabla de $n$ por $n$ con celdas blancas. Se turnan para elegir una celda blanca y colorearla de negro. Alicia se mueve primero. El juego termina tan pronto como hay al menos una celda negra en cada cuadrado de $k$ por $k$ después de que un jugador se mueve, quien es declarado el ganador del juego. ¿Quién tiene la estrategia ganadora?

En el triángulo $ABC$, sea $D$ un punto en $BC$. Sean $I_1$ e $I_2$ los incentros de los triángulos $ABD$ y $ACD$ respectivamente. Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $AI_1D$ y $AI_2D$ respectivamente. Sean las líneas $I_1O_2$ e $I_2O_1$ se intersectan en $P$. Demuestra que $PD\perp BC$.

Sea $n$ un entero positivo tal que existen enteros positivos $x_1,x_2,\cdots ,x_n$ que satisfacen $$x_1x_2\cdots x_n(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)=100n.$$ Encuentra el mayor valor posible de $n$.

Sea $p$ un primo y $n$ un entero positivo tal que $p^2$ divide a $\prod_{k=1}^n (k^2+1)$. Demuestra que $p<2n$.

Dado un entero $n\geq 2$ y números reales $x_1,x_2,\cdots, x_n$ en el intervalo $[0,1]$ . Demostrar que existen números reales $a_0,a_1,\cdots,a_n$ que satisfacen las siguientes condiciones:\n(1) $a_0+a_n=0$ ;\n(2) $|a_i|\leq 1$ , para $i=0,1,\cdots,n$ ;\n(3) $|a_i-a_{i-1}|=x_i$ , para $i=1,2,\cdots,n$ .

Dado un entero $a_1\geq 2$ . Para un entero $n\geq 2$ , definir $a_n$ como el menor entero positivo que no es coprimo con $a_{n-1}$ y no es igual a $a_1,a_2,\cdots, a_{n-1}$ . Demostrar que todo entero positivo excepto 1 aparece en esta secuencia $\{a_n\}$ .