$x$ e $y$ son números reales tales que $6 - x$ , $3 + y^2$ , $11 + x$ , $14 - y^2$ son mayores que cero. Hallar el máximo de la función $$f(x,y) = \sqrt{(6 -x)(3 + y^2)} + \sqrt{(11 + x)(14 - y^2)}.$$

Dados tres puntos $A, B$ y $C$ (no colineales) construir el triángulo equilátero de mayor perímetro tal que cada uno de sus lados pase por uno de los puntos dados.

Se escribe un entero en cada celda de un tablero de $N$ filas y $N + 1$ columnas. Demostrar que algunas columnas (posiblemente ninguna) se pueden eliminar de modo que en cada fila la suma de los números que quedan sin tachar sea par.

Hallar todas las funciones $f$ definidas en los enteros mayores o iguales que $1$ que satisfacen:\n(a) Para todo $n, f(n)$ es un entero positivo.\n(b) $f(n + m) = f(n)f(m)$ para todo $m$ y $n$.\n(c) Existe $n_0$ tal que $f(f(n_0)) = [f(n_0)]^2$.

El polinomio $1976(x+x^2+ \cdots +x^n)$ se descompone en una suma de polinomios de la forma $a_1x + a_2x^2 + \cdots + a_nx^n$ , donde $a_1, a_2, \ldots , a_n$ son enteros positivos distintos no mayores que $n$ . Encuentra todos los valores de $n$ para los cuales tal descomposición es posible.

Demostrar que $5^n$ tiene un bloque de $1976$ ceros consecutivos en su representación decimal.

Determine el mayor número, que es el producto de algunos enteros positivos, y la suma de estos números es $1976.$

Sea $P_{1}(x)=x^{2}-2$ y $P_{j}(x)=P_{1}(P_{j-1}(x))$ para j $=2,\ldots$ Demuestre que para cualquier entero positivo n las raíces de la ecuación $P_{n}(x)=x$ son todas reales y distintas.

Sea $P$ un polinomio con coeficientes reales tal que $P(x) > 0$ si $x > 0$ . Demuestre que existen polinomios $Q$ y $R$ con coeficientes no negativos tales que $P(x) = \frac{Q(x)}{R(x)}$ si $x > 0.$

Sea $I = (0, 1]$ el intervalo unidad de la recta real. Para un número dado $a \in (0, 1)$ definimos una función $T : I \to I$ mediante la fórmula si \[ T (x, y) = \begin{cases} x + (1 - a),&\mbox{ si } 0< x \leq a,\ \text{ } \ x - a, & \mbox{ si } a < x \leq 1.\end{cases} \] Demuestre que para cada intervalo $J \subset I$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(J) \cap J \neq \emptyset.$