Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabian están en un círculo, ubicados en ese orden. Ana, Beto, Carlos, Diana, Elena y Fabian tienen cada uno un pedazo de papel, donde están escritos los números reales $a,b,c,d,e,f$ respectivamente. Al final de cada minuto, todas las personas reemplazan simultáneamente el número en su papel por la suma de tres números; el número que estaba al principio del minuto en su papel y en los papeles de sus dos vecinos. Al final del minuto $2022, 2022$ reemplazos se han hecho y cada persona tiene en su papel su número inicial. Encuentra todos los posibles valores de $abc+def$. $\textbf{Note:}$ Si al principio del minuto $N$ Ana, Beto, Carlos tienen los números $x,y,z$ , respectivamente, entonces al final del minuto $N$ , Beto va a tener el número $x+y+z$.

Hay una pila con 2022 rocas. Ana y Beto juegan por turnos al siguiente juego, comenzando con Ana: en cada turno, si hay $n$ rocas en la pila, el jugador puede quitar $S(n)$ rocas o $n-S(n)$ rocas, donde $S(n)$ es la suma de los dígitos de $n$. La persona que quita la última roca gana. Determine cuál de los dos jugadores tiene una estrategia ganadora y descríbala.

En $\triangle ABC$, $\angle B$ es obtuso y $AB \ne BC$. Sea $O$ el circuncentro y $\omega$ la circunferencia circunscrita de este triángulo. $N$ es el punto medio del arco $ABC$. La circunferencia circunscrita de $\triangle BON$ intersecta a $AC$ en los puntos $X$ e $Y$. Sea $BX \cap \omega = P \ne B$ y $BY \cap \omega = Q \ne B$. Demuestra que $P, Q$ y la reflexión de $N$ con respecto a la línea $AC$ son colineales.

Se eligen $N$ celdas en una cuadrícula rectangular. Sea $a_i$ el número de celdas elegidas en la $i$-ésima fila, $b_j$ es el número de celdas elegidas en la $j$-ésima columna. Demuestra que $$ \prod_{i} a_i! \cdot \prod_{j} b_j! \leq N! $$

Demuestra que la expresión $$ (1^4+1^2+1)(2^4+2^2+1)\dots(n^4+n^2+1)$$ no es un cuadrado para todo $n \in \mathbb{N}$

Sea $\mathbb{S}$ el conjunto de números primos que son menores o iguales a 26. ¿Existen $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6 \in \mathbb{N}$ tales que $$ gcd(a_i,a_j) \in \mathbb{S} \qquad \text {para } 1\leq i \ne j \leq 6$$ y para cada elemento $p$ de $\mathbb{S}$ existe un par de $ 1\leq k \ne l \leq 6$ tal que $$s=gcd(a_k,a_l)?$$

Una calculadora puede elevar al cuadrado un número o sumarle $1$. No puede sumar $1$ dos veces seguidas. Mediante varias operaciones, transformó un número $x$ en un número $S > x^n + 1$ ($x, n,S$ son enteros positivos). Demuestra que $S > x^n + x - 1$.

El plano de una galería de arte es una figura de tablero de ajedrez donde cada cuadrado es una habitación, y se puede llegar a todas las habitaciones desde cualquier otra moviéndose a habitaciones adyacentes. Un custodio en una habitación puede vigilar todas las habitaciones a las que se puede llegar desde esta habitación con un movimiento de una reina de ajedrez (sin salir de la galería). ¿Qué número mínimo de custodios es suficiente para vigilar todas las habitaciones en cada galería de $n$ habitaciones ($n > 2$)?

Se da un trapecio $ABCD$ con $BC // AD$. Los puntos $B'$ y $C'$ son simétricos a $B$ y $C$ con respecto a $CD$ y $AB$, respectivamente. Demuestra que el punto medio del segmento que une los circuncentros de $ABC'$ y $B'CD$ es equidistante de $A$ y $D$.

En una secuencia $a_1, a_2, ..$ de números reales, el producto $a_1a_2$ es negativo, y para definir $a_n$ para $n > 2$, se elige un par $(i, j)$ entre todos los pares $(i, j), 1 \le i < j < n$, no elegidos antes, de modo que $a_i +a_j$ tenga el valor absoluto mínimo, y luego $a_n$ se establece igual a $a_i + a_j$. Demuestra que $|a_i| < 1$ para algún $i$.