Sea $N=2^a p_1^{b_1} p_2^{b_2} \ldots p_k^{b_k}$ . Demuestra que hay $(b_1+1)(b_2+1)\ldots(b_k+1)$ número de $n$ s que satisfacen estas dos condiciones. $\frac{n(n+1)}{2}\le N$ , $N-\frac{n(n+1)}{2}$ es dividido por $n$ .

Para un entero positivo $n$ , hay $n$ reales positivos $a_1 \ge a_2 \ge a_3 \cdots \ge a_n$ . Para todos los reales positivos $b_1, b_2, \cdots b_n$ , demuestra la siguiente desigualdad. $$\frac{a_1b_1+a_2b_2 + \cdots +a_nb_n}{a_1+a_2+ \cdots a_n} \le \text{max}\{ \frac{b_1}{1}, \frac{b_1+b_2}{2}, \cdots, \frac{b_1+b_2+ \cdots +b_n}{n} \}$$

Un triángulo no isósceles $\triangle ABC$ tiene incentro $I$ y el incírculo golpea $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ . Sea $EF$ golpear la circunferencia de $CEI$ en $P \not= E$ . Demuestra que $\triangle ABC = 2 \triangle ABP$ .

Para un entero positivo $n$ , $S_n$ es el conjunto de enteros positivos $n$ -tuplas $(a_1,a_2, \cdots ,a_n)$ que satisface lo siguiente. (i). $a_1=1$ . (ii). $a_{i+1} \le a_i+1$ . Para $k \le n$ , define $N_k$ como el número de $n$ -tuplas $(a_1, a_2, \cdots a_n) \in S_n$ tal que $a_k=1, a_{k+1}=2$ . Encuentra la suma $N_1 + N_2+ \cdots N_{k-1}$ .

El triángulo acutángulo $\triangle ABC$ tiene área $S$ y perímetro $L$ . Un punto $P$ dentro de $\triangle ABC$ tiene $dist(P,BC)=1, dist(P,CA)=1.5, dist(P,AB)=2$ . Sea $BC \cap AP = D$ , $CA \cap BP = E$ , $AB \cap CP= F$ . Sea $T$ el área de $\triangle DEF$ . Demuestra la siguiente desigualdad. $$ \left( \frac{AD \cdot BE \cdot CF}{T} \right)^2 > 4L^2 + \left( \frac{AB \cdot BC \cdot CA}{24S} \right)^2 $$

Sea $n$ un entero positivo. El número de soluciones de $x^2+2016y^2=2017^n$ es $k$ . Escribe $k$ con $n$ .

En una barra de metal larga, se incrustan $1000$ canicas rojas en la barra de modo que la barra se divide equitativamente en $1001$ partes por ellas. $1001$ canicas azules también se incrustan en la barra, de modo que la barra se divide equitativamente en $1002$ partes por ellas. Si cortas la barra de metal equitativamente en $2003$ partes más pequeñas, ¿cuántas de las partes más pequeñas contendrían al menos una canica incrustada?

$I$ es el incentro de $ABC$. $D$ es la intersección de $AI$ y la circunferencia circunscrita de $ABC$, no $A$. Y $P$ es el punto medio de $BI$. Si $CI=2AI$, demuestra que $AB=PD$.

Para un entero positivo dado $a$, encuentra cada $(x_1, x_2, …, x_{2002})$ que satisfaga lo siguiente: (1) $x_1 \geq x_2 \geq … \geq x_{2002} \geq 0$ (2) $0< x_1+x_2+…+x_{2003}<a+1$ (3) $ x^2_1+x^2_2+…+x^2_{2003}+9=a^2$

Encuentra todas las soluciones enteras a la ecuación $$x^3+2y^3+4z^3+8xyz=0$$