Para dos enteros no negativos $i, j$, crea un nuevo entero $i \# j$ definido de la siguiente manera: Expresa los dos números en base $2$ y compara cada dígito. Si su $k$-ésimo dígito es el mismo, entonces el $k$-ésimo dígito de $i \# j$ es $0$. Si su $k$-ésimo dígito es diferente, entonces el $k$-ésimo dígito de $i \# j$ es $1$ (por supuesto, estamos hablando en base $2$). Por ejemplo, $3 \# 5=6$. Demuestra que para un entero positivo arbitrario $n$, el número se puede expresar con operaciones finitas de $\#$ s e enteros de la forma $2^k-1$.

Para el cuadrado $ABCD$, $M$ es el punto medio del segmento $CD$ y $E$ es un punto en $AD$ que satisface $\angle BEM = \angle MED$. $P$ es la intersección de $AM$, $BE$. Encuentra el valor de $\frac{PE}{BP}$

Encuentra todos los números primos $p$ tales que $p^{2002}+2003^{p-1}-1$ es un múltiplo de $2003p$.

Encuentra el valor de $x^2+y^2+z^2$ donde $x, y, z$ son distintos de cero y satisfacen lo siguiente: (1) $x+y+z=3$ (2) $x^2(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})+y^2(\frac{1}{z}+\frac{1}{x})+z^2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})=-3$

$A, B, C$, y $D$ son los cuatro puntos diferentes en el círculo $O$ en el orden. Sea el centro del círculo inscrito del triángulo $ABC$, que es tangente a $BC$, sea $O_1$. Sea el centro del círculo inscrito del triángulo $ACD$, que es tangente a $CD$, sea $O_2$. (1) Demuestra que el circuncentro del triángulo $ABO_1$ está en el círculo $O$. (2) Demuestra que la circunferencia circunscrita del triángulo $CO_1O_2$ siempre pasa por un punto fijo en el círculo $O$, cuando $C$ se mueve a lo largo del arco $BD$.

Sean $k$ y $N$ números reales positivos que satisfacen $k\leq N$. Para $1\leq i \leq k$, existen subconjuntos $A_i$ de $\{1,2,3,\ldots,N\}$ que satisfacen la siguiente propiedad. Para un subconjunto arbitrario de $\{ i_1, i_2, \ldots , i_s \} \subset \{ 1, 2, 3, \ldots, k \} $, $A_{i_1} \triangle A_{i_2} \triangle ... \triangle A_{i_s}$ no es un conjunto vacío. Demuestra que existe un subconjunto $\{ j_1, j_2, .. ,j_t \} \subset \{ 1, 2, ... ,k \} $ que satisface $n(A_{j_1} \triangle A_{j_2} \triangle \cdots \triangle A_{j_t}) \geq k$ . ( $A \triangle B=A \cup B-A \cap B$ )

Números reales positivos, $a_1, .. ,a_6$ satisfacen $a_1^2+..+a_6^2=2$. Piensa en seis cuadrados que tienen una longitud de lado de $a_i$ ( $i=1,2,\ldots,6$ ). Demuestra que los cuadrados se pueden empaquetar dentro de un cuadrado de longitud $2$, sin superponerse.

$x$ e $y$ son positivos y relativamente primos y $z$ es un entero. Satisfacen $(5z-4x)(5z-4y)=25xy$. Demuestra que al menos uno de $10z+x+y$ o el cociente de este número dividido por $3$ es un número cuadrado (i.e., prueba que $10z+x+y$ o la parte entera de $\frac{10z+x+y}{3}$ es un número cuadrado).

Para un número real arbitrario $x$, la función $f : \mathbb R \to \mathbb R$ satisface $f(f(x))-x^2+x+3=0$. Demuestra que la función $f$ no existe.

Hay dos países $A$ y $B$, donde cada país tiene $n(\ge 2)$ aeropuertos. Hay algunos vuelos de dos vías entre los aeropuertos de $A$ y $B$, de modo que cada aeropuerto tiene exactamente $3$ vuelos. Podría haber múltiples vuelos entre dos aeropuertos; y no hay vuelos entre los aeropuertos del mismo país. Una agencia de viajes quiere planificar un curso de viaje exótico que viaje por los $2n$ aeropuertos exactamente una vez, y regrese al aeropuerto inicial. Si $N$ denota el número de todos los cursos de viaje exóticos, entonces demuestre que $\frac{N}{4n}$ es un entero par. (Aquí, tenga en cuenta que dos cursos de viaje exóticos son diferentes si su lugar de inicio es diferente.)