Sean $\alpha,\beta ,\gamma$ los ángulos de $\triangle ABC$ . a) Muestra que $cos^2\alpha +cos^2\beta +cos^2 \gamma =1-2cos\alpha cos\beta cos\gamma$ . b) Dado que $cos\alpha : cos\beta : cos\gamma = 39 : 33 : 25$ , encuentra $sin\alpha : sin\beta : sin\gamma$ .

Dado un conjunto $S \subset N$ y un entero positivo n, sea $S\oplus \{n\} = \{s+n / s \in S\}$ . La secuencia $S_k$ de conjuntos se define inductivamente como sigue: $S_1 = \{1\}$ , $S_k=(S_{k-1} \oplus \{k\}) \cup \{2k-1\}$ para $k = 2,3,4, ...$ (a) Determina $N - \cup _{k=1}^{\infty} S_k$ . (b) Encuentra todos los $n$ para los cuales $1994 \in S_n$ .

Considera la ecuación $ y^2-k=x^3$ , donde $ k$ es un entero. Demuestra que la ecuación no puede tener cinco soluciones enteras de la forma $ (x_1,y_1),(x_2,y_1-1),(x_3,y_1-2),(x_4,y_1-3),(x_5,y_1-4)$ . También muestra que si tiene los primeros cuatro de estos pares como soluciones, entonces $ 63|k-17$ .

Se dice que un entero positivo $N$ es $n-$ bueno si (i) $N$ tiene al menos $n$ divisores primos distintos, y (ii) existen divisores positivos distintos $1, x_{2}, . . . , x_{n}$ cuya suma es $N$ . Demuestra que existe un número $n-$ bueno para cada $n\geq 6$ .

En un hexágono convexo $ABCDEF$ los triángulos $ABC , CDE , EFA$ son similares. Encuentra las condiciones sobre estos triángulos bajo las cuales el triángulo $ACE$ es equilátero si y sólo si lo es $BDF.$

Dados tres números reales distintos $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ , define $b_{j}= (1+\frac{a_{j}a_{i}}{a_{j}-a_{i}})(1+\frac{a_{j}a_{k}}{a_{j}-a_{k}})$ , donde $\{i, j, k\}= \{1, 2, 3\}$ . Demuestra que $1+|a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}| \leq (1+|a_{1}|)(1+|a_{2}|)(1+|a_{3}|)$ y encuentra los casos de igualdad.

Tres escuelas $A, B$ y $C$ , cada una con cinco jugadores denotados $a_{i}, b_{i}, c_{i}$ respectivamente, participan en un torneo de ajedrez. El torneo se lleva a cabo siguiendo las reglas: (i) Los jugadores de cada escuela tienen partidas en orden con respecto a los índices, y los jugadores derrotados son eliminados; la primera partida es entre $a_{1}$ y $b_{1}$ . (ii) Si $y_{j}\in Y$ derrota a $x_{i}\in X$ , su próximo oponente debería ser de la escuela restante si no todos sus jugadores han sido eliminados; de lo contrario, su próximo oponente es $x_{i+1}$ . El torneo termina cuando dos escuelas son completamente eliminadas. (iii) Cuando $x_{i}$ gana una partida, su escuela gana $10^{i-1}$ puntos. Al final del torneo, las escuelas $A, B, C$ obtuvieron $P_{A}, P_{B}, P_{C}$ respectivamente. Encuentra el resto del número de posibles triples $(P_{A}, P_{B}, P_{C})$ al dividirlo por $8.$

Para un entero positivo $a$ , sea $S_{a}$ el conjunto de primos $p$ para los cuales existe un entero impar $b$ tal que $p$ divide a $(2^{2^{a}})^{b}-1.$ Demuestra que para cada $a$ existen infinitos primos que no están contenidos en $S_{a}$ .

En un triángulo $ABC$ con $AB\not = AC$ , el incírculo toca los lados $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ , respectivamente. La línea $AD$ se encuentra con el incírculo nuevamente en $P$ . La línea $EF$ y la línea que pasa por $P$ perpendicular a $AD$ se encuentran en $Q$ . La línea $AQ$ intersecta a $DE$ en $X$ y a $DF$ en $Y$ . Demuestra que $A$ es el punto medio de $XY$ .

Un subconjunto $S \in \{0, 1, 2, \cdots , 2000\}$ satisface $|S|=401$ . Demuestra que existe un entero positivo $n$ tal que hay al menos $70$ enteros positivos $x$ tales que $x, x+n \in S$