Sea $S$ el conjunto de puntos dentro de un triángulo equilátero dado $ABC$ con lado $1$ o en su frontera. Para cualquier $M \in S, a_M, b_M, c_M$ denotan las distancias desde $M$ a $BC,CA,AB$, respectivamente. Defina $f(M) = a_M^3 (b_M - c_M) + b_M^3(c_M - a_M) + c_M^3(a_M - b_M)$. (a) Describa el conjunto $\{M \in S | f(M) \geq 0\}$ geométricamente. (b) Encuentre los valores mínimo y máximo de $f(M)$ así como los puntos en los que se alcanzan.

Demuestre que existe un entero positivo $N$ tal que la representación decimal de $2000^N$ comienza con los dígitos $200120012001$.

Encuentre todos los enteros $n$ para los cuales el polinomio $p(x) = x^5 -nx -n -2$ puede ser representado como un producto de dos polinomios no constantes con coeficientes enteros.

Sean $P$ y $Q$ puntos en un círculo $k$. Una cuerda $AC$ de $k$ pasa a través del punto medio $M$ de $PQ$. Considere un trapecio $ABCD$ inscrito en $k$ con $AB \parallel PQ \parallel CD$. Pruebe que el punto de intersección $X$ de $AD$ y $BC$ depende solo de $k$ y $P,Q$.

1 - Demuestra que $55 < (1+\sqrt{3})^4 < 56$ .\n2 - Encuentra la mayor potencia de $2$ que divide a $\lceil(1+\sqrt{3})^{2n}\rceil$ para el entero positivo $n$

Sean $C_1$ y $C_2$ dos círculos diferentes, y sean sus radios $r_1$ y $r_2$ , los dos círculos pasan por los dos puntos $A$ y $B$\n(i)Sea $P_1$ en $C_1$ y $P_2$ en $C_2$ tal que la recta $P_1P_2$ pase por $A$ . Demuestra que $P_1B \cdot r_2 = P_2B \cdot r_1$\n(ii)Sea $DEF$ un triángulo inscrito en $C_1$ , y sea $D'E'F'$ un triángulo inscrito en $C_2$ . Las rectas $EE'$ , $DD'$ y $FF'$ pasan todas por $A$ . Demuestra que los triángulos $DEF$ y $D'E'F'$ son similares\n(iii)El círculo $C_3$ también pasa por $A$ y $B$ . Sea $l$ una recta que pasa por $A$ y corta a los círculos $C_i$ en $M_i$ con $i = 1,2,3$ . Demuestra que el valor de $$\frac{M_1M_2}{M_1M_3}$$ es constante independientemente de la posición de $l$ Siempre que $l$ sea diferente de $AB$

Un país consta de islas $A_1,A_2,\cdots,A_N$ , El ministerio de transporte decidió construir algunos puentes de tal manera que cualquiera pueda viajar en coche desde cualquiera de las islas $A_1,A_2,\cdots,A_N$ a cualquier otra isla por uno o más de estos puentes. Por razones técnicas, los únicos puentes que se pueden construir son entre $A_i$ y $A_{i+1}$ donde $i = 1,2,\cdots,N-1$ , y entre $A_i$ y $A_N$ donde $i<N$ . Decimos que un plan para construir algunos puentes es bueno si satisface las condiciones anteriores, pero cuando eliminamos cualquier puente no satisfará estas condiciones. Asumimos que hay $a_N$ de buenos planes. Observa que $a_1 = 1$ (El único buen plan es no construir ningún puente) , y $a_2 = 1$ (Construimos un puente).\n1-Demuestra que $a_3 = 3$\n2-Dibuja al menos $5$ planes buenos diferentes en el caso de que $N=4$ y las islas sean los vértices de un cuadrado\n3-Calcula $a_4$\n4-Calcula $a_6$\n5-Demuestra que existe un entero positivo $i$ tal que $1438$ divide a $a_i$

1- Encuentra un par $(m,n)$ de enteros positivos tal que $K = |2^m-3^n|$ en todos estos casos : $a) K=5$ $b) K=11$ $c) K=19$\n2-¿Existe un par $(m,n)$ de enteros positivos tal que : $$|2^m-3^n| = 2017$$ \n3-Cada número primo menor que $41$ puede representarse en la forma $|2^m-3^n|$ tomando un par apropiado $(m,n)$ de enteros positivos. Demuestra que el número $41$ no puede representarse en la forma $|2^m-3^n|$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos.\n4-Observa que $2^5+3^2=41$. El número $53$ es el menor número primo que no puede representarse como una suma o una diferencia de una potencia de $2$ y una potencia de $3$. Demuestra que el número $53$ no puede representarse en ninguna de las formas $2^m-3^n$ , $3^n-2^m$ , $2^m-3^n$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos

Sea $ ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $ AD = BC + EF$ , $ BE = AF + CD$ , $ CF = DE + AB$ . Pruebe que: \[ \frac {AB}{DE} = \frac {CD}{AF} = \frac {EF}{BC}.\n\]

Sean $ a,b,c,d$ números reales con suma 0. Demuestre la desigualdad: \[ (ab + ac + ad + bc + bd + cd)^2 + 12\geq 6(abc + abd + acd + bcd).\n\]