7 Sea $ABC$ un triángulo con semiperímetro $s$ e inradio $r$ . Los semicírculos con diámetros $BC$ , $CA$ , $AB$ se trazan hacia el exterior del triángulo $ABC$ . El círculo tangente a estos tres semicírculos tiene radio $t$ . Demuestre que \[\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\left(1-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)r. \] Formulación alternativa. En un triángulo $ABC$ , constrúyanse círculos con diámetros $BC$ , $CA$ y $AB$ , respectivamente. Constrúyase un círculo $w$ tangente exteriormente a estos tres círculos. Sea $t$ el radio de este círculo $w$ . Demuestre: $\frac{s}{2}<t\le\frac{s}{2}+\frac12\left(2-\sqrt3\right)r$ , donde $r$ es el inradio y $s$ es el semiperímetro del triángulo $ABC$ . Propuesto por Dirk Laurie, Sudáfrica