$AB < AC$ en $\triangle ABC$. El punto medio del arco $BC$ que no incluye a $A$ es $T$ y el que incluye a $A$ es $S$. En el segmento $AB,AC$, existen $D,E$ de modo que $DE$ y $BC$ son paralelos. La bisectriz del ángulo externo de $\angle ABE$ y $\angle ACD$ se encuentran con $AS$ en $P$ y $Q$. Demuestre que la circunferencia circunscrita de $\triangle PBE$ y $\triangle QCD$ se encuentran en $AT$.

Para un entero positivo $n$, existen $n$ vértices que tienen $10000$ escritos en ellos en un plano. Para $3$ vértices que son colineales y tienen números positivos escritos en ellos, denotamos el procedimiento $P$ como restar $1$ de los vértices exteriores y sumar $2023$ al vértice interior. Demuestre que el procedimiento $P$ no se puede repetir infinitamente.

En un país hay infinitas ciudades y para cada par de ciudades hay una carretera que las conecta. Inicialmente hay $n$ monedas en cada ciudad. Cada día el viajero Hong comienza desde una ciudad y se mueve a otra, pero si Hong va de la ciudad $A$ a $B$ en el $k$-ésimo día, tiene que enviar $k$ monedas de $B$ a $A$, y ya no puede usar la carretera que conecta $A$ y $B$. Pruebe que Hong no puede viajar por más de $n+2n^{\frac{2}{3}}$ días.

$\triangle ABC$ es un triángulo tal que $\angle A = 60^{\circ}$. El incentro de $\triangle ABC$ es $I$. $AI$ interseca a $BC$ en $D$, $BI$ interseca a $CA$ en $E$, y $CI$ interseca a $AB$ en $F$, respectivamente. Además, la circunferencia circunscrita de $\triangle DEF$ es $\omega$. La línea tangente a $\omega$ en $E$ y $F$ se intersecan en $T$. Demuestre que $\angle BTC \ge 60^{\circ}$

Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que\n$$f(f(x)^2 + |y|) = x^2 + f(y)$$

Dado un número natural $n$. Para todas las tripletas de enteros $(a,b,c)$ tales que $0 < |a| , |b|, |c| < 2023$ y que satisfacen la siguiente igualdad, demuestre que el producto de todos los posibles enteros $a$ es un cuadrado perfecto. (El valor de $a$ permite la duplicación)\n$$(a+nb)(a-nc) + abc = 0$$

Una secuencia $\{x_n \}=x_0, x_1, x_2, \cdots $ satisface $x_0=a(1\le a \le 2019, a \in \mathbb{R})$ , y $$x_{n+1}=\begin{cases}1+1009x_n &\ (x_n \le 2) \\ 2021-x_n &\ (2<x_n \le 1010) \\ 3031-2x_n &\ (1010<x\le 1011) \\ 2020-x_n &\ (1011<x_n) \end{cases}$$ para cada entero no negativo $n$ . Si existe algún entero $k>1$ tal que $x_k=a$ , llama a tal mínimo $k$ un período fundamental de $\{x_n \}$ . Encuentra todos los enteros que pueden ser un período fundamental de alguna secuencia; y para tal período impar mínimo $k(>1)$ , encuentra todos los valores de $x_0=a$ tales que el período fundamental de $\{x_n \}$ es igual a $k$ .

Encuentra todos los pares $(p,q)$ tales que la ecuación $$x^4+2px^2+qx+p^2-36=0$$ tiene exactamente $4$ raíces enteras (contando multiplicidad).

Sea el triángulo $ABC$ un triángulo escaleno acutángulo con ortocentro $H$ . El pie de la perpendicular de $A$ a $BC$ es $O$ , y denotemos $K,L$ por los puntos medios de $AB, AC$ , respectivamente. Para un punto $D(\neq O,B,C)$ en el segmento $BC$ , sean $E,F$ los ortocentros de los triángulos $ABD, ACD$ , respectivamente, y denotemos $M,N$ por los puntos medios de $DE,DF$ . La línea perpendicular de $M$ a $KH$ corta la línea perpendicular de $N$ a $LH$ en $P$ . Si $Q$ es el punto medio de $EF$ , y $S$ es el ortocentro del triángulo $HPQ$ , entonces pruebe que cuando $D$ varía en $BC$ , la razón $\frac{OS}{OH}$ , $\frac{OQ}{OP}$ permanece constante.

Prueba que existen infinitos enteros positivos $k$ tales que la secuencia $\{x_n\}$ que satisface $$ x_1=1, x_2=k+2, x_{n+2}-(k+1)x_{n+1}+x_n=0(n \ge 0)$$ no contiene ningún número primo.