Una secuencia $\{x_n \}=x_0, x_1, x_2, \cdots $ satisface $x_0=a(1\le a \le 2019, a \in \mathbb{R})$ , y $$x_{n+1}=\begin{cases}1+1009x_n &\ (x_n \le 2) \\ 2021-x_n &\ (2<x_n \le 1010) \\ 3031-2x_n &\ (1010<x\le 1011) \\ 2020-x_n &\ (1011<x_n) \end{cases}$$ para cada entero no negativo $n$ . Si existe algún entero $k>1$ tal que $x_k=a$ , llama a tal mínimo $k$ un período fundamental de $\{x_n \}$ . Encuentra todos los enteros que pueden ser un período fundamental de alguna secuencia; y para tal período impar mínimo $k(>1)$ , encuentra todos los valores de $x_0=a$ tales que el período fundamental de $\{x_n \}$ es igual a $k$ .