Si $C^p_n=\frac{n!}{p!(n-p)!} (p \ge 1)$, demostrar la identidad \[C^p_n=C^{p-1}_{n-1} + C^{p-1}_{n-2} + \cdots + C^{p-1}_{p} + C^{p-1}_{p-1}\] y luego evaluar la suma \[S = 1\cdot 2 \cdot 3 + 2 \cdot 3 \cdot 4 + \cdots + 97 \cdot 98 \cdot 99.\]

$A$ es un entero positivo de $2m$ dígitos, cada uno de los cuales es $1$. $B$ es un entero positivo de $m$ dígitos, cada uno de los cuales es $4$. Demostrar que $A+B +1$ es un cuadrado perfecto.

Dado un círculo, construir una cuerda que sea trisecada por dos radios no colineales dados.

Simplificar \[\frac{1}{\log_a(abc)}+\frac{1}{\log_b(abc)}+\frac{1}{\log_c(abc)},\] donde $a, b, c$ son números reales positivos.

Los enteros del $1$ al $1000$ están ubicados en la circunferencia de un círculo en orden natural. Comenzando con $1$, cada quinceavo número (es decir, $1, 16, 31, \cdots$) es marcado. El marcado continúa hasta que se alcanza un número ya marcado. ¿Cuántos de los números quedarán sin marcar?

Una sucesión $(a_n)_0^N$ de números reales se llama cóncava si $2a_n\ge a_{n-1} + a_{n+1}$ para todos los enteros $n, 1 \le n \le N - 1$ . $(a)$ Demuestra que existe una constante $C >0$ tal que \[\left(\displaystyle\sum_{n=0}^{N}a_n\right)^2\ge C(N - 1)\displaystyle\sum_{n=0}^{N}a_n^2\:\:\:\:\:(1)\] para todas las sucesiones positivas cóncavas $(a_n)^N_0$ $(b)$ Demuestra que $(1)$ se cumple con $C = \frac{3}{4}$ y que esta constante es la mejor posible.

Una función $f : I \to \mathbb R$ , definida en un intervalo $I$ , se llama cóncava si $f(\theta x + (1 - \theta)y) \geq \theta f(x) + (1 - \theta)f(y)$ para todo $x, y \in I$ y $0 \leq \theta \leq 1$ . Asume que las funciones $f_1, \ldots , f_n$ , teniendo todos valores no negativos, son cóncavas. Demuestra que la función $(f_1f_2 \cdots f_n)^{1/n}$ es cóncava.

Una sucesión $(a_n)^{\infty}_0$ de números reales se llama convexa si $2a_n\le a_{n-1}+a_{n+1}$ para todos los enteros positivos $n$ . Sea $(b_n)^{\infty}_0$ una sucesión de números positivos y asume que la sucesión $(\alpha^nb_n)^{\infty}_0$ es convexa para cualquier elección de $\alpha > 0$ . Demuestra que la sucesión $(\log b_n)^{\infty}_0$ es convexa.

Sea $\mathcal{C}$ la circunferencia circunscrita del cuadrado con vértices $(0, 0), (0, 1978), (1978, 0), (1978, 1978)$ en el plano cartesiano. Demuestra que $\mathcal{C}$ no contiene ningún otro punto para el cual ambas coordenadas sean enteros.

Sean los polinomios \[P(x) = x^n + a_{n-1}x^{n-1 }+ \cdots + a_1x + a_0,\] \[Q(x) = x^m + b_{m-1}x^{m-1} + \cdots + b_1x + b_0,\] dados satisfaciendo la identidad $P(x)^2 = (x^2 - 1)Q(x)^2 + 1$ . Demuestra la identidad \[P'(x) = nQ(x).\]