Para un rectángulo $ABCD$ que no es un cuadrado, existe $O$ tal que $O$ está en la bisectriz perpendicular de $BD$ y $O$ está en el interior de $\triangle BCD$ . Denotemos por $E$ y $F$ las segundas intersecciones del círculo centrado en $O$ que pasa por $B, D$ y $AB, AD$ . $BF$ y $DE$ se encuentran en $G$ , y $X, Y, Z$ son los pies de las perpendiculares desde $G$ a $AB, BD, DA$ . $L, M, N$ son los pies de las perpendiculares desde $O$ a $CD, BD, BC$ . $XY$ y $ML$ se encuentran en $P$ , $YZ$ y $MN$ se encuentran en $Q$ . Pruebe que $BP$ y $DQ$ son paralelos.

Hay $n$ cartas tales que para cada $i=1,2, \cdots n$ , hay exactamente una carta etiquetada con $i$ . Inicialmente las cartas están apiladas en orden creciente de arriba a abajo. Hay dos operaciones: $A$ : Uno puede tomar la carta superior de la pila y moverla al fondo; $B$ : Uno puede quitar la carta superior de la pila. La operación $ABBABBABBABB \cdots $ se repite hasta que sólo queda una carta. Sea $L(n)$ el número etiquetado en la pila final. Encuentra todos los enteros $k$ tales que $L(3k)=k$ .

Hay $2015$ círculos distintos en un plano, con radio $1$. Demuestra que puedes seleccionar $27$ círculos, que forman un conjunto $C$, que satisfacen lo siguiente. Para dos círculos arbitrarios en $C$, se intersectan entre sí o Para dos círculos arbitrarios en $C$, no se intersectan entre sí.

Para un entero positivo fijo $k$, hay dos secuencias $A_n$ y $B_n$. Se definen inductivamente, por las siguientes recurrencias. $A_1 = k$ , $A_2 = k$ , $A_{n+2} = A_{n}A_{n+1}$ $B_1 = 1$ , $B_2 = k$ , $B_{n+2} = \frac{B^3_{n+1}+1}{B_{n}}$ Demuestra que para todos los enteros positivos $n$ , $A_{2n}B_{n+3}$ es un entero.

$\triangle ABC$ es un triángulo acutángulo y su ortocentro es $H$. La circunferencia circunscrita de $\triangle ABH$ intersecta la línea $BC$ en $D$. Las líneas $DH$ y $AC$ se encuentran en $P$, y el circuncentro de $\triangle ADP$ es $Q$. Demuestra que el circuncentro de $\triangle ABH$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $\triangle BDQ$.

Hay al menos $3$ estaciones de metro en una ciudad. En esta ciudad, existe una ruta que pasa por más de $L$ estaciones de metro, sin volver a visitar. Los metros funcionan en ambos sentidos, lo que significa que si se puede ir de la estación de metro A a B, también se puede ir de B a A. Demuestra que al menos una de las dos se cumple. $\text{(i)}$ . Existe tres estaciones de metro $A$ , $B$ , $C$ tales que no existe una ruta de $A$ a $B$ que no pase por $C$ . $\text{(ii)}$ . Hay un ciclo que pasa por al menos $\lfloor \sqrt{2L} \rfloor$ estaciones, sin volver a visitar la misma estación más de una vez.

En un triángulo $\triangle ABC$ con incentro $I$, la circunferencia inscrita se encuentra con las líneas $BC, CA, AB$ en $D, E, F$ respectivamente. Define el circuncentro de $\triangle IAB$ y $\triangle IAC$ como $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Sean las dos intersecciones de la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ y la línea $EF$ como $P, Q$. Demuestra que el circuncentro de $\triangle DPQ$ se encuentra en la línea $O_1O_2$.

Encuentra todas las funciones $f: R \rightarrow R$ tales que $f(x^{2015} + (f(y))^{2015}) = (f(x))^{2015} + y^{2015}$ se cumple para todos los reales $x, y$.

Hay un tablero de ajedrez de $n\times n$. Cada casilla tiene un número entre $0$ y $k$. Hay un botón para cada fila y columna, el cual incrementa el número de $n$ números de la fila o columna que el botón representa (si el número de la casilla es $k$, entonces se convierte en $0$). Si cierto botón es presionado, llámalo 'operación'. Y tenemos un tablero de ajedrez el cual está lleno con 0 (para todas las casillas). Después de algunas 'operaciones', los números de las casillas son diferentes ahora. Demuestra que podemos hacer que todos los números sean $0$ dentro de $kn$ 'operaciones'.

El cuadrilátero $ABCD$ está inscrito en un círculo $O$. Sean $AB\cap CD=E$ y $P\in BC, EP\perp BC$ , $R\in AD, ER\perp AD$ , $EP\cap AD=Q, ER\cap BC=S$. Sea $K$ el punto medio de $QS$. Demuestra que $E, K, O$ son colineales.