Para $f(x) = \cos\left(\frac{3\sqrt{3}\pi}{8}(x-x^3 ) \right)$ , encuentre el valor de $$\lim_{t\to\infty} \left( \int_0^1 f(x)^t dx \right)^{\frac{1}{t}} + \lim_{t\to-\infty} \left( \int_0^1 f(x)^t dx \right)^{\frac{1}{t}} $$

Suponga una función continua $f:[-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4}]\to[-1,1]$ y diferenciable en $(-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$ . Entonces, existe un punto $x_0\in (-\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{4})$ tal que $$|f'(x_0)|\leq 1+f(x_0)^2$$

Dados enteros positivos $m,n$ y una matriz $A$ de $m\times n$ con entradas reales. (1) Demuestre que las matrices $X = I_m + AA^T$ y $Y = I_n + A^T A$ son invertibles. ( $I_l$ es la matriz unidad de $l\times l$.) (2) Evalúe el valor de $\text{tr}(X^{-1}) - \text{tr}(Y^{-1})$ .

Suponga que $\{a_n\}$ es una secuencia decreciente de números reales y $\lim\limits_{n\to\infty} a_n = 0$ . Si $S_{2^k} - 2^k a_{2^k} \leq 1$ para cualquier entero positivo $k$ , demuestre que $$\sum_{n=1}^{\infty} a_n \leq 1$$ (Aquí, $S_m = \sum_{n=1}^m a_n$ es una suma parcial de $\{a_n\}$ . )

Encuentra el siguiente límite. \[\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \log \left(\sum_{k=2}^{2^n} k^{1/n^2} \right)\]

Suponga que una secuencia de reales $\{a_n\}_{n\geq 0}$ satisface $a_0 = 0$ , $\frac{100}{101} <a_{100}<1$ , y $$2a_n - a_{n-1} -a_{n+1} \leq 2 (1-a_n )^3$$ para todo $n\geq 1$ . (1) Defina una secuencia $b_n = a_n - \frac{n}{n+1}$ . Pruebe que $b_n\leq b_{n+1}$ para todo $n\geq 100$ . (2) Determine si la serie infinita $\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^2}$ converge o diverge.

Suponga que una matriz $3\times 3$, $A$, satisface $\mathbf{v}^t A \mathbf{v} > 0$ para cualquier vector $\mathbf{v} \in\mathbb{R}^3 -\{0\}$ . (Note que $A$ puede no ser una matriz simétrica.) (1) Pruebe que $\det(A)>0$ . (2) Considere la matriz diagonal $D=\text{diag}(-1,1,1)$ . Pruebe que hay exactamente un real negativo entre los valores propios de $AD$ .

Suponga que una función continua $f:[0,1]\to\mathbb{R}$ es diferenciable en $(0,1)$ y $f(0)=1$ , $f(1)=0$ . Entonces, existe $0<x_0<1$ tal que $$|f'(x_0)| \geq 2018 f(x_0)^{2018}$$

Una matriz real simétrica $2018\times 2018$, $A=(a_{ij})$ satisface $|a_{ij}-2018|\leq 1$ para todo $1\leq i,j\leq 2018$ . Denote el mayor valor propio de $A$ por $\lambda(A)$ . Encuentre el valor máximo y mínimo de $\lambda(A)$ .

$n\geq 2$ es un entero dado. Para dos permutaciones $(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)$ y $(\beta_1,\cdots,\beta_n)$ de $1,\cdots,n$ , considere la matriz $n\times n$, $A= \left(a_{ij} \right)_{1\leq i,j\leq n}$ definida por $a_{ij} = (1+\alpha_i \beta_j )^{n-1}$ . Encuentre todo valor posible de $\det(A)$ .