Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$ . Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en las diagonales $AC$ y $BD$ , respectivamente, y $\angle APD = \angle BQC$ . Demuestra que $\angle AQD = \angle BPC$ .

Determina todas las ternas de enteros $(x, y, z)$ que son solución del sistema de ecuaciones $\begin{cases} x - yz = 1 \\ xz + y = 2 \end{cases}$

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AC \neq BC$ . El punto $K$ es el pie de la altura desde el vértice $C$ . El punto $O$ es el circuncentro de $ABC$ . Demuestra que las áreas de los cuadriláteros $AKOC$ y $BKOC$ son iguales.

Existen reales positivos $a, b, c, x$ tales que $a^2+ b^2 = c^2$ y $(a + x)^2+ (b +x)^2 = (c + x)^2$?

La figura de abajo, compuesta por cuatro pentágonos regulares con una longitud de lado de $1$, se pegó en el espacio de la siguiente manera. Primero, se dobló a lo largo de las secciones discontinuas, combinando las secciones en negrita, y luego se formó de tal manera que las secciones coloreadas formaran un cuadrado. Encuentra la longitud del segmento $AB$ creado de esta manera.

En el $(2n+2)$ - gono convexo se dibujan $n^2$ diagonales. Demuestra que una de estas diagonales corta el $(2n+2)$-gono en dos polígonos, cada uno de los cuales tiene un número impar de vértices.

Los números naturales $a$, $b$ están escritos en decimal usando los mismos dígitos (es decir, cada dígito del 0 al 9 aparece la misma cantidad de veces en $a$ y en $b$). Demuestra que si $a+b=10^{1000}$ entonces ambos números $a$ y $b$ son divisibles por $10$.

En el lado $AB$ de un triángulo escaleno $ABC$ hay puntos $M$, $N$ tales que $AN=AC$ y $BM=BC$. La línea paralela a $BC$ que pasa por $M$ y la línea paralela a $AC$ que pasa por $N$ se intersectan en $S$. Demuestra que $\measuredangle{CSM} = \measuredangle{CSN}$.

En un torneo de bádminton participaron 16 personas. Cada par de participantes jugó como máximo un partido y no hubo empates. Después del torneo resultó que cada participante ha ganado un número diferente de partidos. Demuestra que cada participante ha perdido un número diferente de partidos.

El punto $M$ es el punto medio de la hipotenusa $AB$ de un triángulo rectángulo $ABC$. Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en los segmentos $AM$ y $MB$ respectivamente y $PQ=CQ$. Demuestra que $AP\leq 2\cdot MQ$.