Sea $ABCD$ el paralelogramo, tal que el ángulo en el vértice $A$ es agudo. La bisectriz perpendicular del segmento $AB$ interseca el segmento $CD$ en el punto $X$. Sea $E$ el punto de intersección de las diagonales del paralelogramo $ABCD$. Demuestre que $XE = \frac{1}{2}AD$.

Sean $a$, $b$, $c$ números reales. Es cierto que $a + b$, $b + c$ y $c + a$ son tres enteros consecutivos, en cierto orden, y el menor de ellos es impar. Demuestre que los números $a$, $b$, $c$ también son enteros consecutivos en cierto orden.

Considere el prisma recto con el rombo de lado $a$ y ángulo agudo $60^{\circ}$ como base. Este prisma fue intersectado por algún plano que intersecta sus aristas laterales, tal que la sección transversal del prisma y el plano es un cuadrado. Determinar todas las longitudes posibles del lado de este cuadrado.

Sean $a$ , $b$ $c$ los números naturales, tales que cada dígito aparece exactamente el mismo número de veces en cada uno de los números $a$ , $b$ , $c$ . ¿Es posible que $a + b + c = 10^{1001}$ ? Justifica tu respuesta.

En algún torneo hubo $8$ jugadores. Cada dos jugadores jugaron exactamente un partido, cada uno de ellos terminó con la victoria de uno de los jugadores o con un empate. El ganador del partido obtuvo $2$ puntos, su oponente $0$ puntos y en el caso de empate cada jugador obtuvo $1$ punto. Cuando todos los partidos habían terminado, resultó que cada jugador tenía el mismo número de puntos. Determinar el número total mínimo de empates.

Sea $ABCD$ el rectángulo. Los puntos $E$ , $F$ se encuentran en los lados $BC$ y $CD$ respectivamente, tales que $\sphericalangle EAF = 45^{\circ}$ y $BE = DF$ . Demostrar que el área del triángulo $AEF$ es igual a la suma de las áreas de los triángulos $ABE$ y $ADF$ .

Determinar todas las triples $(x, y, z)$ de números no nulos tales que\n\[xy(x + y) = yz(y + z) = zx(z + x).\]

Los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en los lados $AB$ , $BC$ del triángulo $ABC$ , tales que $AC=CP =PQ=QB$ y $A \neq P$ y $C \neq Q$ . Si $\sphericalangle ACB = 104^{\circ}$ , determinar las medidas de todos los ángulos del triángulo $ABC$ .

Determinar todos los números naturales $n$ , tales que sea posible insertar un dígito en el lado derecho de $n$ para obtener $13n$ .

Cada entero ha sido coloreado con uno de tres colores. Demuestra que existen dos números diferentes del mismo color, cuya diferencia es un cuadrado perfecto.