Los enteros positivos $a$, $b$ y $n$ satisfacen\n\[\n\frac{a}{b}=\frac{a^2+n^2}{b^2+n^2}.\n\]\nDemuestra que $\sqrt{ab}$ es un entero.

El punto $M$ es el punto medio del lado $AB$ del triángulo equilátero $ABC$. Los puntos $D$ y $E$ se encuentran en los segmentos $AC$ y $BC$, respectivamente, y $\angle DME = 60^{\circ}$. Demostrar que $AD + BE = DE + \frac{1}{2}AB$.

Los números reales $a, b, c$ no son iguales a $0$ y son solución del sistema:\n$\begin{cases}\na^2 + a = b^2 \\\nb^2 + b = c^2 \\\nc^2 + c = a^2\n\end{cases}$\nDemostrar que $(a - b)(b - c)(c - a) = 1$.

Sea $n$ un entero positivo. Cada número $1, 2, ..., 1000$ ha sido coloreado con uno de $n$ colores. Cada dos números, tales que uno es divisor del segundo, están coloreados con colores diferentes. Determinar el número mínimo $n$ para el cual esto es posible.

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$ en el que $AB + CD = AD$. Las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $E$. La línea que pasa por el punto $E$ y es paralela a las bases del trapecio corta a $AD$ en el punto $F$. Demostrar que $\sphericalangle BFC = 90^{\circ}$.

Sean $a, b$ enteros positivos impares tales que $a^bb^a$ es un cuadrado perfecto. Demostrar que $ab$ es un cuadrado perfecto.

Se da un paralelogramo $ABCD$. En la diagonal $BD$, se selecciona un punto $P$ tal que $AP = BD$. El punto $Q$ es el punto medio del segmento $CP$. Demuestra que $\angle BQD = 90^o$.

Los enteros positivos $a, b, c$ tienen la propiedad de que: $\bullet$ $a$ da resto $2$ cuando se divide por $b$, $\bullet$ $b$ da resto $2$ cuando se divide por $c$, $\bullet$ $c$ da resto $4$ cuando se divide por $a$. Demuestra que $c = 4$.

Se da un cuadrilátero convexo $ABCD$ en el que $\angle DAB = \angle ABC = 45^o$ y $DA = 3$, $AB = 7\sqrt2$, $BC = 4$. Calcula la longitud del lado $CD$.

El número natural $n$ se multiplicó por $3$, lo que resultó en el número $999^{1000}$. Encuentra el dígito de la unidad de $n$.