Cada uno de los números naturales del $1$ al $n$ se colorea de rojo o azul, y cada color se usa al menos una vez. Resulta que: – todo número rojo es una suma de dos números azules distintos; y – todo número azul es una diferencia entre dos números rojos. Determine el valor más pequeño posible de $n$ para el cual existe tal coloración.

Sea $ABCD$ un rectángulo. El punto $E$ está en el lado $AB$, y el punto $F$ está en el segmento $CE$. Demuestre que si los triángulos $ADE$ y $CDF$ tienen áreas iguales, entonces los triángulos $BCE$ y $DEF$ también tienen áreas iguales.

Kamil escribió en una pizarra una expresión que consiste en la suma y resta alternas de números naturales del $1$ al $100$: \[1-2+3-4+5-6+\ldots-98+99-100.\] Entonces, Kamil borró uno de los signos más o menos y lo reemplazó con un signo igual, obteniendo una igualdad verdadera. ¿Qué número precedió al signo borrado? Encuentra todas las posibilidades y justifica tu respuesta.

Dado un rectángulo con perímetro $x$ cm y longitudes de los lados en una razón de $1:2$. Suponga que el área del rectángulo también es $x$ $\text{cm}^2$. Determine todos los valores posibles de $x$.

Sean $a$ y $b$ enteros positivos tales que el número primo $a+b+1$ divide al entero $4ab-1$ . Demuestra que $a=b$ .

La base de la pirámide $ABCD$ es un triángulo equilátero $ABC$ con longitud de lado $1$ . Adicionalmente, \[\angle ADB=\angle BDC=\angle CDA=90^\circ\,.\] Calcula el volumen de la pirámide $ABCD$ .

Hay $n$ cerillas sobre una mesa, formando $n$ pilas de una cerilla. Adam quiere combinarlas en una sola pila de $n$ cerillas. Lo hará mediante $n-1$ operaciones, cada una de las cuales consiste en combinar dos pilas en una sola. Adam ha llegado a un acuerdo con Bartek según el cual, cada vez que combine una pila de $a$ cerillas con una pila de $b$ cerillas, recibirá $a\cdot b$ caramelos de Bartek. ¿Cuál es el mayor número de caramelos que Adam puede recibir después de realizar $n-1$ operaciones? Justifica tu respuesta.

En el hexágono convexo $ABCDEF$ , los ángulos en los vértices $B$ , $C$ , $E$ , y $F$ son iguales. Además, se cumple la igualdad \[AB+DE=AF+CD\]. Demuestra que la línea $AD$ y las bisectrices de los segmentos $BC$ y $EF$ tienen un punto en común.

Se dan enteros positivos $a$ y $b$ tales que cada uno de los números $ab$ y $(a+1)(b+1)$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que existe un entero $n>1$ tal que el número $(a+n)(b+n)$ es un cuadrado perfecto.

El punto $D$ se encuentra en el lado $AB$ del triángulo $ABC$ , y el punto $E$ se encuentra en el segmento $CD$ . Demuestra que si la suma de las áreas de los triángulos $ACE$ y $BDE$ es igual a la mitad del área del triángulo $ABC$ , entonces el punto $D$ es el punto medio de $AB$ o el punto $E$ es el punto medio de $CD$ .