Sean $a$ , $b$ , y $c$ enteros positivos para los cuales el número \[\frac{a\sqrt2+b}{b\sqrt2+c}\] es racional. Demuestra que el número $ab+bc+ca$ es divisible por $a+b+c$ .

Un cuadrado $ABCD$ con lados de longitud $4$ es la base de un cuboide $ABCDA'B'C'D'$. Los lados $AA'$, $BB'$, $CC'$, $DD'$ de este cuboide tienen longitud $7$. Los puntos $K, L, M$ se encuentran respectivamente en los segmentos de línea $AA'$, $BB'$, $CC'$, y $AK = 3$, $BL = 2$, $CM = 5$. Un plano que pasa por los puntos $K, L, M$ corta el cuboide en dos bloques. Calcula los volúmenes de estos bloques.

Los enteros positivos $k, m, n$ satisfacen la ecuación $m^2 + n = k^2 + k$. Demuestra que $m \le n$.

Cada entero debe ser coloreado por uno de tres colores, incluyendo el rojo. Cada número que puede ser representado como una suma de dos números de diferentes colores debe ser rojo. Cada color debe ser usado. ¿Es posible esta coloración?

Sea $ABCD$ un trapecio con bases $AB$ y $CD$. Las bisectrices de $AD$ y $BC$ se intersecan en los segmentos de línea $BC$ y $AD$ respectivamente en los puntos $P$ y $Q$. Demuestra que $\angle APD = \angle BQC$.

Los números primos $a, b, c$ son mayores que $3$. Demuestra que $(a - b)(b - c)(c - a)$ es divisible por $48$.

Dentro del paralelogramo $ABCD$ hay un punto $P$, tal que $PC = BC$. Demuestra que la línea $BP$ es perpendicular a la línea que conecta los puntos medios de los lados de los segmentos de línea $AP$ y $CD$.

Sean $a$, $b$ enteros tales que $gcd(a + n,b + n) > 1$ para todo entero $n \geq 1$. Demuestre que $a = b$.

Sea $ABC$ un triángulo tal que $\sphericalangle BAC = 45^{\circ}$ y $\sphericalangle ACB > 90^{\circ}.$ Muestre que $BC + (\sqrt{2} - 1)\cdot CA < AB.$

Hay un torneo para niños y niñas. Cada persona jugó exactamente un partido con cada otra persona, no hubo empates. Resultó que cada persona había perdido al menos un juego. Además, cada niño perdió un número diferente de partidos que cualquier otro niño. Demuestre que hay una niña que ganó un partido con al menos un niño.