Dado el cuadrado $ABCD$ . El punto $E$ se encuentra en la diagonal $AC$ , donde $AE> EC$ . En el lado $AB$ , se ha seleccionado un punto diferente de $B$ para el cual $EF = DE$ . Demuestra que $\angle DEF = 90^o$ .

Los números $a, b$ satisfacen la condición $2a + a^2= 2b + b^2$ . Demuestra que si $a$ es un entero, $b$ también es un entero.

Sea $S=\underbrace{111\dots 1}_{19}\underbrace{999\dots 9}_{19}$ . Demuestre que el número de $2S$ dígitos \[\underbrace{111\dots 1}_{S}\underbrace{999\dots 9}_{S}\] es un múltiplo de $19$ .

Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $AC=BC$ . Sean $P,Q,R$ puntos en los lados $AB, BC, CA$ del triángulo tales que $CQPR$ es un paralelogramo. Demuestre que la reflexión de $P$ sobre $QR$ se encuentra en la circunferencia circunscrita de $ABC$ .

Los números reales $a,b,c$ satisfacen $a+b \ne 0$ , $b+c \ne 0$ y $c+a \ne 0$ . Demuestre que \[\left(\frac{a^2c}{a+b}+\frac{b^2a}{b+c}+\frac{c^2b}{c+a}\right) \cdot \left(\frac{b^2c}{a+b}+\frac{c^2a}{b+c}+\frac{a^2b}{c+a}\right) \ge 0.\]

Determinar el entero más pequeño $n \ge 1$ tal que un cuadrado de $n \times n$ se puede cortar en piezas cuadradas de tamaño $1 \times 1$ y $2 \times 2$ con ambos tipos ocurriendo la misma cantidad de veces.

¿Podemos encontrar un cuadrilátero convexo $ABCD$ con un punto interior $P$ que satisfaga \[AB=AP, \quad BC=BP, \quad CD=CP, \quad \text{y} \quad DA=DP \quad ?\]?

Sea $ABCDEF$ un hexágono regular con lado de longitud $2$. El punto $M$ es el punto medio de la diagonal $AE$. El pentágono $ABCDE$ se pliega a lo largo de los segmentos $BD$, $BM$ y $DM$ de tal manera que los puntos $A$, $C$ y $E$ coinciden. Como resultado de esta operación, se obtiene un tetraedro. Determine su volumen.

Llamamos a la figura que se muestra en la imagen que consta de cinco cuadrados unitarios un $\emph{plus}$, y a cada rectángulo que consta de dos de tales cuadrados un $\emph{minus}$. ¿Existe un entero impar $n$ con la propiedad de que un cuadrado con lado de longitud $n$ pueda ser diseccionado en pluses y minuses? Justifica tu respuesta.

Los números positivos $a$, $b$, $c$ satisfacen las desigualdades \[a + b \geq ab, \quad b + c \geq bc,\quad\text{y}\quad c+ a \geq ca.\] Pruebe que $\displaystyle a + b + c \geq \frac34abc$.