Un poliominó es una región con interior conectado que es una unión de un número finito de cuadrados de una cuadrícula de cuadrados unitarios. ¿Existe un entero positivo $n>4$ y un poliominó $P$ contenido completamente dentro de una cuadrícula de $n$ - por - $n$ tal que $P$ contiene exactamente $3$ cuadrados unitarios en cada fila y cada columna de la cuadrícula?

En una tabla de $3$ por $3$ , por un gusano de $k$ , nos referimos a un camino de celdas diferentes $(S_1,S_2,...,S_k)$ tal que cada dos celdas consecutivas tienen un lado en común. El gusano de $k$ en cada paso puede avanzar una celda y girar a $(S,S_1,...,S_{k-1})$ si $S$ es una celda no llena que es adyacente (tiene un lado en común) con $S_1$ . Encuentre el número máximo de $k$ tal que exista un gusano de $k$ $(S_1,...,S_k)$ tal que después de finitamente muchos pasos se pueda girar a $(S_k,...,S_1)$ .

Sea $f : \mathbb{R}^+\to\mathbb{R}$ que satisface $f(x)=f(x+2)+2f(x^2+2x)$ . Demuestre que si para toda $x>1400^{2021}$ , $xf(x) \le 2021$ , entonces $xf(x) \le 2021$ para toda $x \in \mathbb {R}^+$

Suponga que dos círculos $\alpha, \beta$ con centros $P,Q$ , respectivamente , se intersecan ortogonalmente en $A$ , $B$ . Sea $CD$ un diámetro de $\beta$ que es exterior a $\alpha$ . Sean $E,F$ puntos en $\alpha$ tales que $CE,DF$ son tangentes a $\alpha$ , con $C,E$ en un lado de $PQ$ y $D,F$ en el otro lado de $PQ$ . Sea $S$ la intersección de $CF,AQ$ y $T$ la intersección de $DE,QB$ . Demuestre que $ST$ es paralelo a $CD$ y es tangente a $\alpha$

Las competiciones finales no se llevaron a cabo debido a la pandemia de COVID-19.

Se da un cubo $ABCDA'B'C'D'$ con una arista de longitud $2$ y vértices marcados como en la figura. El punto $K$ es el centro de la arista $AB$. El plano que contiene los puntos $B',D', K$ interseca la arista $AD$ en el punto $L$. Calcula el volumen de la pirámide con vértice $A$ y base el cuadrilátero $D'B'KL$.

Los cuadrados del tablero de ajedrez de $14 \times 14$ están coloreados en un patrón, como se muestra en la imagen. ¿Puedes elegir siete campos negros y siete cuadrados blancos de este tablero de ajedrez de tal manera que haya exactamente un campo seleccionado en cada fila y columna? Justifica tu respuesta.

Tomek invitó a una fiesta de cumpleaños remota a $11$ de sus amigos que se unirán a la reunión uno por uno. Tomek eligió a los invitados de tal manera que, independientemente del orden en que se unan, el recién llegado siempre conociera al menos a la mitad de las personas ya presentes, incluido Tomek. Demuestra que entre los invitados, hay uno que conoce a los otros $10$ amigos de Tomek. Advertencia: Asumimos que si la persona A conoce a la persona $B$ , entonces $B$ también conoce a $A$ .

Los puntos $K$ y $L$ están en los lados $BC$ y $CD$ , respectivamente, del paralelogramo $ABCD$ , tales que $AB + BK = AD + DL$ . Demuestra que la bisectriz del ángulo $BAD$ es perpendicular a la línea $KL$ .

Dados enteros positivos $a, b$ para los cuales $5a + 3b$ es divisible por $a + b$ . Demuestra que $a = b$ .