Hemos construido un rombo adjuntando dos triángulos equiláteros iguales. Al colocar $n-1$ puntos en los 3 lados de cada triángulo hemos dividido los lados en $n$ segmentos iguales. Al dibujar segmentos de línea entre puntos correspondientes en cada lado de los triángulos hemos dividido el rombo en $2n^2$ triángulos iguales. Escribimos los números $1,2,\dots,2n^2$ en estos triángulos de tal manera que ningún número aparece dos veces. En el segmento común de cada dos triángulos escribimos la diferencia positiva de los números escritos en esos triángulos. Encuentre la suma máxima de todos los números escritos en los segmentos.

$n$ coches están corriendo. Al principio tienen un orden particular. En cada momento un coche puede adelantar a otro coche. No ocurren dos acciones de adelantamiento al mismo tiempo, y excepto los momentos en que un coche está pasando a otro, los coches siempre tienen un orden. Un conjunto de acciones de adelantamiento se llama 'pequeño' si cualquier coche adelanta como máximo una vez. Un conjunto de acciones de adelantamiento se llama 'completo' si cualquier coche adelanta exactamente una vez. Si $F$ es el conjunto de todos los órdenes posibles de los coches después de un pequeño conjunto de acciones de adelantamiento y $G$ es el conjunto de todos los órdenes posibles de los coches después de un conjunto completo de acciones de adelantamiento, demuestre que $\mid F\mid=2\mid G\mid$

¿Cuántas torres se pueden colocar en un tablero de ajedrez de $n\times n$ tal que cada torre esté amenazada por como máximo $2k$ torres?

Asuma que la siguiente ecuación de función generadora es correcta, demuestre la siguiente declaración: $\Pi_{i=1}^{\infty} (1+x^{3i})\Pi_{j=1}^{\infty} (1-x^{6j+3})=1$ Declaración: El número de particiones de $n$ a números que no son de la forma $6k+1$ o $6k-1$ es igual al número de particiones de $n$ en las que cada sumando aparece al menos dos veces.

Refleje cada una de las formas $A,B$ sobre algunas líneas $l_A,l_B$ respectivamente y rote la forma $C$ de tal manera que se obtenga un cuadrado de $4 \times 4$. Identifique las líneas $l_A,l_B$ y el centro de la rotación, y también dibuje las versiones transformadas de $A,B$ y $C$ bajo estas operaciones.

Sea $n$ un entero mayor que $1$ tal que $n$ pueda ser representado como la suma de los cubos de dos números racionales, demuestre que $n$ también es la suma de los cubos de dos números racionales no negativos.

En un tablero de ajedrez, llamamos a un grupo de reinas 'independientes' si ninguna amenaza a otra. En una cuadrícula de $n$ por $n$ , colocamos exactamente una reina en cada celda de la cuadrícula. Denotemos por $M_n$ el número mínimo de grupos 'independientes' cuya unión contiene todas las reinas. Sea $k$ un entero positivo, demuestre que $M_{3k+1} \le 3k+2$

Sea $P(x)=x^{2016}+2x^{2015}+...+2017,Q(x)=1399x^{1398}+...+2x+1$ . Demuestre que existen secuencias estrictamente crecientes $a_i,b_i, i=1,...$ de enteros positivos tales que $gcd(a_i,a_{i+1})=1$ para cada $i$ . Además, para cada $i$ par , $P(b_i) \nmid a_i, Q(b_i) | a_i$ y para cada $i$ impar , $P(b_i)|a_i,Q(b_i) \nmid a_i$

Llamamos a un polinomio $P(x)=a_dx^d+...+a_0$ de grado $d$ 'agradable' si $$\frac{2021(|a_d|+...+|a_0|)}{2022}<max_{0 \le i \le d}|a_i|$$ Inicialmente Shayan tiene una secuencia de $d$ números reales distintos; $r_1,...,r_d \neq \pm 1$ . En cada paso, elige un entero positivo $N>1$ y eleva los $d$ números que tiene al exponente de $N$ , luego elimina los $d$ números anteriores y construye un polinomio mónico de grado $d$ con estos números como raíces, luego examina si es 'agradable' o no. Demuestre que después de algunos pasos, todos los polinomios que Shayan produce serían polinomios 'agradables'.

Sea $ABC$ un triángulo con $AB \neq AC$ y con incentro $I$ . Sea $M$ el punto medio de $BC$ , y sea $L$ el punto medio del arco circular $BAC$ . Las líneas que pasan por $M$ paralelas a $BI,CI$ se encuentran con $AB,AC$ en $E$ y $F$ , respectivamente, y se encuentran con $LB$ y $LC$ en $P$ y $Q$ , respectivamente. Demuestre que $I$ se encuentra en el eje radical de los circuncírculos de los triángulos $EMF$ y $PMQ$ .