Dos rectas fijas $l_1$ y $l_2$ son perpendiculares entre sí en un punto $Y$ . Los puntos $X$ y $O$ están en $l_2$ y ambos están en un lado de la recta $l_1$ . Dibujamos el círculo $\omega$ con centro $O$ y radio $OY$ . Un punto variable $Z$ está en la recta $l_1$ . La recta $OZ$ corta al círculo $\omega$ en $P$ . La paralela a $XP$ desde $O$ interseca a $XZ$ en $S$ . Encontrar el lugar geométrico del punto $S$.

El incírculo del triángulo $ABC$ para el cual $AB\neq AC$ , es tangente a los lados $BC,CA$ y $AB$ en los puntos $D,E$ y $F$ respectivamente. La perpendicular desde $D$ a $EF$ interseca al lado $AB$ en $X$ , y el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $AEF$ y $ABC$ es $T$ . Demostrar que $TX\perp TF$.

Considerar la elipse $\epsilon$ con dos focos $A$ y $B$ tales que las longitudes de su eje mayor y eje menor son $2a$ y $2b$ respectivamente. Desde un punto $T$ fuera de la elipse, dibujamos dos rectas tangentes $TP$ y $TQ$ a la elipse $\epsilon$ . Demostrar que \[\frac{TP}{TQ}\ge \frac{b}{a}.\]

Sea $N$ el punto de Nagel del triángulo $ABC$ . Dibujamos rectas desde $B$ y $C$ a $N$ de modo que estas rectas intersecan a los lados $AC$ y $AB$ en $D$ y $E$ respectivamente. $M$ y $T$ son los puntos medios de los segmentos $BE$ y $CD$ respectivamente. $P$ es el segundo punto de intersección de los circuncírculos de los triángulos $BEN$ y $CDN$ . $l_1$ y $l_2$ son rectas perpendiculares a $PM$ y $PT$ en los puntos $M$ y $T$ respectivamente. Demostrar que las rectas $l_1$ y $l_2$ se intersecan en el circuncírculo del triángulo $ABC$.

Puntos fijos $B$ y $C$ están en un círculo fijo $\omega$ y el punto $A$ varía en este círculo. Llamamos al punto medio del arco $BC$ (que no contiene a $A$ ) $D$ y al ortocentro del triángulo $ABC$ , $H$ . La recta $DH$ interseca al círculo $\omega$ de nuevo en $K$ . La tangente en $A$ al circuncírculo del triángulo $AKH$ interseca a la recta $DH$ y al círculo $\omega$ de nuevo en $L$ y $M$ respectivamente. Demostrar que el valor de $\frac{AL}{AM}$ es constante.

Sea $p$ un número primo. Sabemos que cada número natural puede ser escrito en la forma \[\sum_{i=0}^{t}a_ip^i (t,a_i \in \mathbb N\cup \{0\},0\le a_i\le p-1)\] Únicamente. Ahora sea $T$ el conjunto de todas las sumas de la forma \[\sum_{i=0}^{\infty}a_ip^i (0\le a_i \le p-1).\] (Esto significa permitir números con una base $p$ infinita). Así que los números que para algún $N\in \mathbb N$ todos los coeficientes $a_i, i\ge N$ son cero son números naturales. (De hecho podemos considerar miembros de $T$ como sucesiones $(a_0,a_1,a_2,...)$ para los cuales $\forall_{i\in \mathbb N}: 0\le a_i \le p-1$ . ) Ahora generalizamos la suma y la multiplicación de números naturales a este conjunto de modo que se convierta en un anillo (no es necesario probar este hecho). Por ejemplo: $1+(\sum_{i=0}^{\infty} (p-1)p^i)=1+(p-1)+(p-1)p+(p-1)p^2+...$ $=p+(p-1)p+(p-1)p^2+...=p^2+(p-1)p^2+(p-1)p^3+...$ $=p^3+(p-1)p^3+...=...$ Así que en esta suma, los coeficientes de todos los números $p^k, k\in \mathbb N$ son cero, así que esta suma es cero y por lo tanto podemos concluir que $\sum_{i=0}^{\infty}(p-1)p^i$ está jugando el rol de $-1$ (el inverso aditivo de $1$ ) en este anillo. Como ejemplo de multiplicación considerar \[(1+p)(1+p+p^2+p^3+...)=1+2p+2p^2+\cdots\] Supongamos que $p$ es $1$ módulo $4$ . Demostrar que existe $x\in T$ tal que $x^2+1=0$.

$P(x)$ y $Q(x)$ son dos polinomios con coeficientes enteros tales que $P(x)|Q(x)^2+1$ . a) Demostrar que existen polinomios $A(x)$ y $B(x)$ con coeficientes racionales y un número racional $c$ tal que $P(x)=c(A(x)^2+B(x)^2)$ . b) Si $P(x)$ es un polinomio mónico con coeficientes enteros, Demostrar que existen dos polinomios $A(x)$ y $B(x)$ con coeficientes enteros tales que $P(x)$ puede ser escrito en la forma de $A(x)^2+B(x)^2$.

$p$ es un número primo impar. Demostrar que existe un número natural $x$ tal que $x$ y $4x$ son ambas raíces primitivas módulo $p$.

Demostrar que existen infinitos pares de números racionales $(\frac{p_1}{q},\frac{p_2}{q})$ con $p_1,p_2,q\in \mathbb N$ con la siguiente condición: \[\left|\sqrt{3}-\frac{p_1}{q}\right|<q^{-\frac{3}{2}}, \left|\sqrt{2}-\frac{p_2}{q}\right|< q^{-\frac{3}{2}}.\]

$P(x)$ es un polinomio no nulo con coeficientes enteros. Demostrar que existen infinitos números primos $q$ tales que para algún número natural $n$ , $q|2^n+P(n)$.