Encuentra todos los polinomios $P$ con coeficientes reales tales que $\forall{x\in\mathbb{R}}$ tenemos: \n\[ P(2P(x))=2P(P(x))+2(P(x))^2. \]

Se dan dos círculos $ S_1$ y $ S_2$ con igual radio y que se intersecan en dos puntos en el plano. Una línea $ l$ intersecta a $ S_1$ en $ B,D$ y a $ S_2$ en $ A,C$ (el orden de los puntos en la línea es el siguiente : $ A,B,C,D$ ). Se dibujan dos círculos $ W_1$ y $ W_2$ de modo que ambos sean tangentes externamente a $ S_1$ e internamente a $ S_2$ y también tangentes a $ l$ en ambos lados. Suponga que $ W_1$ y $ W_2$ son tangentes. Entonces DEMUESTRE $ AB = CD$ .

El punto $ P$ se toma en el segmento $ BC$ del triángulo escaleno $ ABC$ tal que $ AP \neq AB,AP \neq AC$ . $ l_1,l_2$ son los incentros de los triángulos $ ABP,ACP$ respectivamente. Los círculos $ W_1,W_2$ se dibujan centrados en $ l_1,l_2$ y con radio igual a $ l_1P,l_2P$ , respectivamente. $ W_1,W_2$ se intersecan en $ P$ y $ Q$ . $ W_1$ intersecta a $ AB$ y $ BC$ en $ Y_1( \mbox{la intersección más cercana a B})$ y $ X_1$ , respectivamente. $ W_2$ intersecta a $ AC$ y $ BC$ en $ Y_2(\mbox{la intersección más cercana a C})$ y $ X_2$ , respectivamente. DEMUESTRE LA CONCURRENCIA DE $ PQ,X_1Y_1,X_2Y_2$ .

Se da un trapecio $ ABCD$ en el plano con $ BC||AD$ . Sabemos que las bisectrices de los ángulos del trapecio concurren en $ O$ . Sea $ T$ la intersección de las diagonales $ AC,BD$ . Sea $ Q$ en $ CD$ tal que $ \angle OQD = 90^\circ$ . Demuestre que si el circuncírculo del triángulo $ OTQ$ intersecta a $ CD$ de nuevo en $ P$ entonces $ TP||AD$ .

Se da un trapecio $ ABCD$ . Tenemos las siguientes propiedades : $ AD||BC,DA = DB = DC,\angle BCD = 72^\circ$ . Se toma un punto $ K$ en $ BD$ tal que $ AD = AK,K \neq D$ . Sea $ M$ el punto medio de $ CD$ . $ AM$ intersecta a $ BD$ en $ N$ . DEMUESTRE $ BK = ND$ .

Sea $ \triangle ABC$ un triángulo y $ (O)$ su circuncírculo. $ D$ es el punto medio del arco $ BC$ que no contiene a $ A$ . Dibujamos un círculo $ W$ que es tangente internamente a $ (O)$ en $ D$ y tangente a $ BC$ . Dibujamos la tangente $ AT$ de $ A$ al círculo $ W$ . $ P$ se toma en $ AB$ tal que $ AP = AT$ . $ P$ y $ T$ están en el mismo lado con respecto a $ A$ . DEMUESTRE $ \angle APD = 90^\circ$ .

Algunos de los vértices de la cuadrícula infinita $\mathbb{Z}^{2}$ faltan. Tomemos el resto como un gráfico. Conecte dos aristas del gráfico si son iguales en un componente y sus otros componentes tienen una diferencia igual a uno. Llame a cada componente conexo de este gráfico una rama . Suponga que para cada $n$ natural el número de vértices faltantes en el cuadrado $(2n+1)\times(2n+1)$ centrado en el origen es menor que $\frac{n}{2}$ . Demuestre que entre las ramas del gráfico, exactamente una tiene un número infinito de vértices.

Una esfera está inscrita en el poliedro $P$ . Las caras de $P$ están coloreadas de blanco y negro de manera que no hay dos caras negras que compartan una arista. Demuestre que la suma de la superficie de las caras negras es menor o igual que la suma de la superficie de las caras blancas.

Sea $z$ un número complejo no nulo tal que $Re(z),Im(z)\in \mathbb{Z}$ . Demuestre que $z$ es representable de forma única como $a_0+a_1(1+i)+a_2(1+i)^2+\dots+a_n(1+i)^n$ donde $n\geq 0$ y $a_j \in \{0,1\}$ y $a_n=1$ .

¿Existen dos funciones $f,g :\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ tales que: $\forall x\not =y : |f(x)-f(y)|+|g(x)-g(y)|>1$ ?