En el triángulo acutángulo $ABC, \angle A = 45^o$ . Los puntos $O,H$ son el circuncentro y el ortocentro de $ABC$ , respectivamente. $D$ es el pie de la altura desde $B$ . El punto $X$ es el punto medio del arco $AH$ de la circunferencia del triángulo $ADH$ que contiene a $D$ . Demuestra que $DX = DO$ .

Dos círculos $\omega_1,\omega_2$ se intersecan entre sí en los puntos $A,B$ . Sea $PQ$ una línea tangente común de estos dos círculos con $P \in \omega_1$ y $Q \in \omega_2$ . Un punto arbitrario $X$ se encuentra en $\omega_1$ . La línea $AX$ interseca a $ \omega_2$ por segunda vez en $Y$ . El punto $Y'\ne Y$ se encuentra en $\omega_2$ tal que $QY = QY'$ . La línea $Y'B$ interseca a $ \omega_1$ por segunda vez en $X'$ . Demuestra que $PX = PX'$ .

Supongamos que $ABCD$ es un paralelogramo tal que $\angle DAC = 90^o$ . Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $A$ hasta $DC$ , también sea $P$ un punto a lo largo de la línea $AC$ tal que la línea $PD$ es tangente a la circunferencia del triángulo $ABD$ . Demuestra que $\angle PBA = \angle DBH$ .

Tenemos un poliedro todas cuyas caras son triángulos. Sea $P$ un punto arbitrario en uno de los bordes de este poliedro tal que $P$ no es el punto medio ni el punto final de este borde. Asumamos que $P_0 = P$ . En cada paso, conecta $P_i$ al centroide de una de las caras que lo contiene. Esta línea se encuentra con el perímetro de esta cara nuevamente en el punto $P_{i+1}$ . Continúa este proceso con $P_{i+1}$ y la otra cara que contiene a $P_{i+1}$ . Demuestra que al continuar este proceso, no podemos pasar por todas las caras. (El centroide de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.)

Sean $\omega_1,\omega_2$ dos círculos con centros $O_1$ y $O_2$ , respectivamente. Estos dos círculos se intersecan entre sí en los puntos $A$ y $B$ . La línea $O_1B$ interseca a $\omega_2$ por segunda vez en el punto $C$ , y la línea $O_2A$ interseca a $\omega_1$ por segunda vez en el punto $D$ . Sea $X$ la segunda intersección de $AC$ y $\omega_1$ . También $Y$ es el segundo punto de intersección de $BD$ y $\omega_2$ . Demuestra que $CX = DY$ .

En el cuadrilátero convexo $ABCD$ , las diagonales $AC$ y $BD$ se intersecan en el punto $P$ . Sabemos que $\angle DAC = 90^o$ y $2 \angle ADB = \angle ACB$ . Si tenemos $\angle DBC + 2 \angle ADC = 180^o$ , demuestra que $2AP = BP$ .

Hay tres rectángulos en la siguiente figura. Se muestran las longitudes de algunos segmentos. Encuentra la longitud del segmento $XY$ .

Hay dos círculos con centros $O_1,O_2$ que se encuentran dentro del círculo $\omega$ y son tangentes a él. La cuerda $AB$ de $\omega$ es tangente a estos dos círculos de tal manera que se encuentran en lados opuestos de esta cuerda. Demuestra que $\angle O_1AO_2 + \angle O_1BO_2 > 90^\circ$ .

Suponga una tabla con una fila e infinitas columnas. Llamamos a cada cuadrado de $1\times1$ una habitación. Sea la tabla finita desde la izquierda. Numeramos las habitaciones de izquierda a $\infty$ . Hemos puesto algunas monedas en algunas habitaciones (Una habitación puede tener más de una moneda.). Podemos hacer $2$ operaciones siguientes: \n$a)$ Si en $2$ habitaciones adyacentes, hay algunas monedas, podemos mover una moneda de la habitación izquierda $2$ habitaciones a la derecha y eliminar una moneda de la habitación derecha.\n$b)$ Si una habitación cuyo número es $3$ o más tiene más de $1$ moneda, podemos mover una de sus monedas $1$ habitación a la derecha y mover otra moneda $2$ habitaciones a la izquierda.\n$i)$ Demuestra que para cualquier configuración inicial de las monedas, después de un número finito de movimientos, no podemos hacer nada más.\n$ii)$ Suponga que hay exactamente una moneda en cada habitación desde $1$ hasta $n$ . Demuestra que al hacer las operaciones permitidas, no podemos poner ninguna moneda en la habitación $n+2$ o en las habitaciones de la derecha.

En el triángulo $ABC$ , $AB>AC$ . Las bisectrices de $\angle{B},\angle{C}$ intersecan los lados $AC,AB$ en $P,Q$ , respectivamente. Sea $I$ el incentro de $\Delta ABC$ . Suponga que $IP=IQ$ . ¿Cuánto vale $\angle A$ ?