Sean $a,b$ y $c$ números reales positivos. Demuestra que $$\sum_{cyc} \frac {a^3b}{(3a+2b)^3} \ge \sum_{cyc} \frac {a^2bc}{(2a+2b+c)^3} $$

Considera una secuencia $\{a_i\}^\infty_{i\ge1}$ de enteros positivos. Para todos los enteros positivos $n$ demuestra que existen infinitamente muchos enteros positivos $k$ tales que no existe un par $(m,t)$ de enteros positivos donde $m>n$ y $$kn+a_n=tm(m+1)+a_m$$

Sea $n$ un entero positivo. Considere números primos $p_1,\dots ,p_k$. Sean $a_1,\dots,a_m$ todos los enteros positivos menores que $n$ tales que no son divisibles por $p_i$ para todo $1 \le i \le n$. Demuestra que si $m\ge 2$ entonces $$\frac{1}{a_1}+\dots+\frac{1}{a_m}$$ no es un entero.

Ali tiene $6$ tipos de cuadrados de $2\times2$ con celdas coloreadas en blanco o negro, y se los ha presentado a Mohammad como mosaicos prohibidos. $a)$ Demuestra que Mohammad puede colorear las celdas de la tabla infinita (desde cada $4$ lados) en blanco o negro de tal manera que no haya mosaicos prohibidos en la tabla. $b)$ Demuestra que Ali puede presentar $7$ mosaicos prohibidos de tal manera que Mohammad no pueda lograr su objetivo.

Un ángulo se considera como un punto y dos rayos que salen de él. Encuentra el valor más grande de $n$ tal que sea posible colocar $n$ ángulos de $60$ grados en el plano de tal manera que cualquier par de estos ángulos tenga exactamente $4$ puntos de intersección.

Hay una cinta con $n^2$ celdas etiquetadas por $1,2,\ldots,n^2$. Suponga que $x,y$ son dos enteros positivos distintos menores o iguales a $n$. Queremos colorear las celdas de la cinta de tal manera que dos celdas cualesquiera con una diferencia de etiqueta de $x$ o $y$ tengan colores diferentes. Encuentra el número mínimo de colores necesarios para hacerlo.

En el triángulo $ABC$ tenemos $\angle A=\frac{\pi}{3}$ . Construye $E$ y $F$ en la continuación de $AB$ y $AC$ respectivamente, tales que $BE=CF=BC$ . Supón que $EF$ se encuentra con la circunferencia circunscrita de $\triangle ACE$ en $K$ . ( $K\not \equiv E$ ) . Demuestra que $K$ está en la bisectriz de $\angle A$ .

Astrofísicos han descubierto un planeta menor de radio $30$ kilómetros cuya superficie está completamente cubierta de agua. Un meteoro esférico golpea este planeta y se sumerge en el agua. Esta incidencia provoca un aumento de $1$ centímetro en la altura del agua en este planeta. ¿Cuál es el radio del meteoro en metros?

La secuencia $\{a_n\}$ se define de la siguiente manera: \n\begin{align*}\na_n = \sqrt{1 + \left(1 + \frac 1n \right)^2} + \sqrt{1 + \left(1 - \frac 1n \right)^2}.\n\end{align*}\n¿Cuál es el valor de la expresión que se indica a continuación?\n\begin{align*}\n\frac{4}{a_1} + \frac{4}{a_2} + \dots + \frac{4}{a_{96}}.\end{align*}

Nadia compró un compás y después de abrir su paquete se dio cuenta de que la longitud de la pata de la aguja es de $10$ centímetros, mientras que la longitud de la pata del lápiz es de $16$ centímetros! Suponga que para dibujar un círculo con este compás, el ángulo entre la pata del lápiz y el papel debe ser al menos de $30$ grados, pero la pata de la aguja podría colocarse en cualquier ángulo con respecto al papel. Sea $n$ la diferencia entre los radios de los círculos más grande y más pequeño que Nadia puede dibujar con este compás en centímetros. ¿Cuál de las siguientes opciones está más cerca de $n$?