El punto $M$ se mueve de tal manera que la suma de los cuadrados de las longitudes desde $M$ a las caras de un cubo, es fija. Encuentra el lugar geométrico de $M.$

Encuentra una matriz $A_{(2 \times 2)}$ para la cual \[ \begin{bmatrix}2 &1 \ 3 & 2\end{bmatrix} A \begin{bmatrix}3 & 2 \ 4 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1 & 2 \ 2 & 1\end{bmatrix}.\]

Demuestra que el número $x = \sqrt{1 + \sqrt 2}$ es irracional.

Sean $f, g : \mathbb R \to \mathbb R$ dos funciones tales que $g\circ f : \mathbb R \to \mathbb R$ es una función inyectiva. Demuestra que $f$ también es inyectiva.

Suponga que $S= \{1,2,\dots,n\}$ y $n \geq 3$ . Existe $f:S^k \longmapsto S$ tal que si $a,b \in S^k$ y $a$ y $b$ difieren en todos los elementos entonces $f(a) \neq f(b)$ . Demuestre que $f$ es una función de uno de sus elementos.

Suponga que hay $n$ puntos distintos en el plano. Hay un círculo con radio $r$ y centro $O$ en el plano. Al menos uno de los puntos está en el círculo. Hacemos las siguientes instrucciones. En cada paso movemos $O$ al baricentro de los puntos en el círculo. Demuestre que la ubicación de $O$ es constante después de algunos pasos.

Encuentre todas las $f : N \longmapsto N$ tales que existe $k \in N$ y un primo $p$ tal que: $\forall n \geq k \ f(n+p)=f(n)$ y también si $m \mid n$ entonces $f(m+1) \mid f(n)+1$

$30$ equipos de voleibol han participado en una liga. Cualquier par de equipos ha jugado un partido entre sí exactamente una vez. Al final de la liga, un partido se llama inusual si al final de la liga, el ganador del partido tiene una menor cantidad de victorias que el perdedor del partido. Un equipo se llama asombroso si todos sus partidos son partidos inusuales. Encuentra el número máximo de equipos asombrosos.

Dos personas están jugando el siguiente juego en una tabla de $n\times m$, con líneas dibujadas: La Persona $\#1$ comienza el juego. Cada persona, en su movimiento, dobla la tabla en una de sus líneas. El que no pueda doblar la tabla en su turno pierde el juego. ¿Quién tiene una estrategia ganadora?

Hay $100$ puntos en la circunferencia de un círculo, etiquetados arbitrariamente por $1,2,\ldots,100$. Para cada tres puntos, llame a su triángulo en sentido horario si el orden creciente de ellos está en sentido horario. Demuestra que es imposible tener exactamente $2017$ triángulos en sentido horario.