Hay ocho baldosas congruentes de $1\times 2$ formadas por un cuadrado azul y un cuadrado rojo. ¿De cuántas maneras podemos cubrir un área de $4\times 4$ con estas baldosas de modo que cada fila y cada columna tenga dos cuadrados azules y dos cuadrados rojos?

El punto $P$ se elige dentro o sobre el triángulo equilátero $ABC$ de lado de longitud $1$. El reflejo de $P$ con respecto a $AB$ es $K$, el reflejo de $K$ con respecto a $BC$ es $M$, y el reflejo de $M$ con respecto a $AC$ es $N$. ¿Cuál es la longitud máxima de $NP$?

En el cuadrilátero convexo y cíclico $ABCD$, tenemos $\angle B = 110^{\circ}$. La intersección de $AD$ y $BC$ es $E$ y la intersección de $AB$ y $CD$ es $F$. Si la perpendicular de $E$ a $AB$ interseca la perpendicular de $F$ a $BC$ en la circunferencia circunscrita del cuadrilátero en el punto $P$, ¿cuál es $\angle PDF$ en grados?

Sean $x \geq y \geq z$ números reales positivos tales que \n\begin{align*}x^2+y^2+z^2 \geq 2xy+2yz+2zx.\end{align*}\n¿Cuál es el valor mínimo de $\frac{x}{z}$?

Tres varillas de longitudes $1396, 1439$ y $2018$ milímetros se han articulado desde una punta en el suelo. ¿Cuál es el valor más pequeño para el radio del círculo que pasa por las otras tres puntas de las varillas en milímetros?

Dos enteros positivos $m$ y $n$ son ambos menores que $500$ y $\text{mcm}(m,n) = (m-n)^2$. ¿Cuál es el valor máximo posible de $m+n$?

Un subconjunto de los números reales tiene la propiedad de que para dos elementos distintos del mismo, como $x$ e $y$, tenemos que $(x+y-1)^2 = xy+1$. ¿Cuál es el número máximo de elementos en este conjunto?

Sean $a_1, a_2, a_3, \dots, a_{20}$ una permutación de los números $1, 2, \dots, 20$. ¿Cuántos valores diferentes puede tener la expresión $a_1-a_2+a_3-\dots - a_{20}$?

¿Para cuántos enteros $k$ el siguiente sistema de ecuaciones tiene una solución distinta de $a=b=c=0$ en el conjunto de los números reales? \n\begin{align*}\n\begin{cases}\na^2+b^2=kc(a+b),\\\nb^2+c^2 = ka(b+c),\\\nc^2+a^2=kb(c+a).\end{cases}\n\end{align*}

Bahman quiere construir un área al lado de la pared de su jardín para guardar su aves de corral. Tiene tres vallas de $10$ metros de longitud cada una. Usando la pared del jardín, que es recta y larga, así como las tres piezas de valla, ¿cuál es la mayor área que Bahman puede encerrar en metros cuadrados?