¿Existe una secuencia $a_{0},a_{1},a_{2},\dots$ en $\mathbb N$, tal que para cada $i\neq j, (a_{i},a_{j})=1$, y para cada $n$, el polinomio $\sum_{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$ es irreducible en $\mathbb Z[x]$ ?

Sea $\omega$ la circunferencia inscrita de $ABC$. $P$ y $Q$ están en $AB$ y $AC$, tales que $PQ$ es paralelo a $BC$ y es tangente a $\omega$. $AB,AC$ tocan a $\omega$ en $F,E$. Demuestra que si $M$ es el punto medio de $PQ$ y $T$ es el punto de intersección de $EF$ y $BC$, entonces $TM$ es tangente a $\omega$.

Encuentra todos los polinomios mónicos $f(x)$ en $\mathbb Z[x]$ tales que $f(\mathbb Z)$ es cerrado bajo la multiplicación.

En una mesa de billar con forma de triángulo rectángulo isósceles, una bola comienza a moverse desde uno de los vértices adyacentes a la hipotenusa. Cuando llega a un lado, refleja su trayectoria. Demuestra que si llegamos a un vértice, no es el vértice en la posición inicial

Encuentra todos los enteros positivos $N$ tales que exista un triángulo que pueda ser dividido en $N$ cuadriláteros similares.

En un triángulo rectángulo $ABC$ ($\angle A = 90^o$), la bisectriz perpendicular de $BC$ interseca la línea $AC$ en $K$ y la bisectriz perpendicular de $BK$ interseca la línea $AB$ en $L$. Si la línea $CL$ es la bisectriz interna del ángulo $C$, encuentra todos los valores posibles para los ángulos $B$ y $C$.

Se da una tabla de $30\times30$. Queremos colorear algunos de sus cuadrados unitarios tal que cualquier cuadrado coloreado tenga a lo sumo $k$ vecinos. (Dos cuadrados $(i,j)$ y $(x,y)$ son llamados vecinos si $i-x,j-y\equiv0,-1,1 \pmod {30}$ y $(i,j)\neq(x,y)$ . Por lo tanto, cada cuadrado tiene exactamente $8$ vecinos) ¿Cuál es el número máximo posible de cuadrados coloreados si : $a) k=6$ $b)k=1$

Se da una tabla de $100 \times 100$. Al principio, cada cuadrado unitario tiene el número $‘0’$ escrito en ellos. Dos jugadores juegan un juego y el juego se detiene después de $200$ pasos (cada jugador juega $100$ pasos). En cada paso, uno puede elegir una fila o una columna y sumar $1$ al número escrito en todos sus cuadrados $\pmod 3.$ El primer jugador es el ganador si más de la mitad de los cuadrados ( $5000$ cuadrados) tienen el número $‘1’$ escrito en ellos, El segundo jugador es el ganador si más de la mitad de los cuadrados ( $5000$ cuadrados) tienen el número $‘0’$ escrito en ellos. De lo contrario, el juego es empate. Asume que ambos jugadores juegan de la mejor manera posible. ¿Cuál será el resultado del juego ?

En una elección, hay $1395$ candidatos y algunos votantes. Cada votante, ordena todos los candidatos por el orden de prioridad. Formamos un grafo dirigido con $1395$ vértices, una flecha es dirigida desde $U$ hacia $V$ cuando el candidato $U$ está en un nivel más alto de prioridad que $V$ en más de la mitad de los votos. (de lo contrario, no hay arista entre $U,V$ ) ¿Es posible generar todos los grafos dirigidos completos con $1395$ vértices?

Una secuencia $P=\left \{ a_{n} \right \}$ es llamada una $\text{Permutación}$ de números naturales (enteros positivos) si para cualquier número natural $m,$ existe un único número natural $n$ tal que $a_n=m.$ También definimos $S_k(P)$ como: $S_k(P)=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}$ (la suma de los primeros $k$ elementos de la secuencia). Demuestra que existen infinitas $\text{Permutaciones}$ distintas de números naturales como $P_1,P_2, \cdots$ tal que $:$ $$\forall k, \forall i<j: S_k(P_i)|S_k(P_j)$$