G1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC=CA$ , y sea $D$ un punto en el interior del lado $AB$ tal que $AD< DB$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos en el interior de los lados $BC$ y $CA$ , respectivamente, tales que $\angle DPB = \angle DQA = 90^{\circ}$ . Sea la mediatriz de $PQ$ que corta al segmento $CQ$ en $E$ , y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $CPQ$ se cortan de nuevo en el punto $F$ , distinto de $C$ . Suponga que $P$ , $E$ , $F$ están alineados. Demuestre que $\angle ACB = 90^{\circ}$ .

2 Sea $a_0, a_1, \ldots, a_n, a_{n+1}$ una sucesión de números reales que satisface las siguientes condiciones: \[a_0 = a_{n+1 }= 0,\] \[ |a_{k-1} - 2a_k + a_{k+1}| \leq 1 \quad (k = 1, 2,\ldots , n).\] Demuestre que $|a_k| \leq \frac{k(n+1-k)}{2} \quad (k = 0, 1,\ldots ,n + 1).$ Amir

3 En un cuadrilátero convexo (en el plano) con área de $32 \text{ cm}^{2}$ la suma de dos lados opuestos y una diagonal es $16 \text{ cm}$ . Determine todos los valores posibles que la otra diagonal puede tener.

4 Una sucesión $(u_{n})$ está definida por \[ u_{0}=2 \quad u_{1}=\frac{5}{2}, u_{n+1}=u_{n}(u_{n-1}^{2}-2)-u_{1} \quad \textnormal{for } n=1,\ldots \] Demuestre que para cualquier entero positivo $n$ tenemos \[ [u_{n}]=2^{\frac{(2^{n}-(-1)^{n})}{3}} \] (donde [x] denota el menor entero $\leq$ x ) $.$ Amir

5 Consideramos el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el cual cada coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$ $.$ Demuestre que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ para el sistema con las propiedades: a.) todos los $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

3 ¿Cuántos subconjuntos de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$ no contienen dos números consecutivos?

6 Sea $p$ un número primo. Demuestre que existe un número primo $q$ tal que para todo entero $n$ , el número $n^p-p$ no es divisible por $q$ .

5 Todo punto de coordenadas enteras en el plano es el centro de un disco de radio $1/1000$ . (1) Demuestre que existe un triángulo equilátero cuyos vértices están en discos diferentes. (2) Demuestre que todo triángulo equilátero con vértices en discos diferentes tiene lado mayor que $96$ . Radu Gologan, Rumania Observación El \"> 96\" en (b) puede reforzarse a \"> 124\". Por cierto, la parte (a) de este problema es el lugar donde usé el conocido teorema de \"Dedekind\" .

3 Considere una función $ f: R\to R$ que satisface las condiciones: para cualesquiera números reales distintos entre sí $ a,b,c,d$ que satisfacen $ \frac {a - b}{b - c} + \frac {a - d}{d - c} = 0$ , $ f(a),f(b),f(c),f(d)$ son distintos entre sí y $ \frac {f(a) - f(b)}{f(b) - f(c)} + \frac {f(a) - f(d)}{f(d) - f(c)} = 0.$ Demuestre que la función $ f$ es lineal. Fang-jh

25 Considere un polinomio $P(x) = ax^2 + bx + c$ con $a > 0$ que tiene dos raíces reales $x_1, x_2$ . Demuestre que los valores absolutos de ambas raíces son menores o iguales que $1$ si y solo si $a + b + c \ge 0, a -b + c \ge 0$ , y $a - c \ge 0$ .