17 Diez jugadores comienzan a jugar con la misma cantidad de dinero. Por turnos lanzan cinco dados. Si los dados muestran un total de $n$, el jugador debe pagar a cada otro jugador $\frac{1}{n}$ veces la suma que ese jugador posee en ese momento. Lanzan y pagan uno tras otro. En la $10^{\text{a}}$ ronda (es decir, después de que cada jugador ha lanzado los cinco dados una vez), los dados muestran un total de $12$ y después del pago resulta que cada jugador tiene exactamente la misma suma que tenía al principio. ¿Es posible determinar los totales mostrados por los dados en las nueve rondas anteriores?

20 Los radios de la circunferencia circunscrita y de la circunferencia inscrita de un $n$-ágono regular, $n\ge 3$, se denotan por $R_n$ y $r_n$, respectivamente. Demuestra que \[\frac{r_n}{R_n}\ge\left(\frac{r_{n+1}}{R_{n+1}}\right)^2.\]

4 Describa todas las figuras cerradas y acotadas $\Phi$ del plano tales que cualesquiera dos de sus puntos se pueden conectar mediante un semicírculo contenido en $\Phi$ . Amir

21 Sea $ABCDEFGH$ el paralelepípedo rectangular donde $ABCD$ y $EFGH$ son cuadrados y las aristas $AE,BF,CG,DH$ son todas perpendiculares a los cuadrados. Demuestra que si las $12$ aristas del paralelepípedo tienen longitudes enteras, la diagonal interna $AG$ y la diagonal de cara $AF$ no pueden tener ambas longitud entera.

22 Sea $p$ un número primo. Demuestra que no hay ningún número divisible por $p$ en la $n$-ésima fila del triángulo de Pascal si y solo si $n$ se puede representar en la forma $n = p^s q - 1$, donde $s$ y $q$ son enteros con $s \geq 0$, $0 < q < p$.

23 Sean $a, b$ números reales positivos, y sean $x, y$ números complejos tales que $|x| = a$ y $|y| = b$. Encuentra el valor mínimo y máximo de \[\left|\frac{x + y}{1 + x\overline{y}}\right|\]

7 Si $a,b,c$ son reales positivos tales que $a+b+c=1$ , demuestre que \[ 10(a^3+b^3+c^3)-9(a^5+b^5+c^5)\geq 1 . \]

C2 Hay $n$ bloques colocados en las casillas unitarias de un tablero de ajedrez de $n \times n$ tales que hay exactamente un bloque en cada fila y en cada columna. Halle el valor máximo $k$ , en términos de $n$ , tal que sin importar cómo estén dispuestos los bloques, podemos colocar $k$ torres en el tablero sin que dos de ellas se amenacen entre sí. (Dos torres no se amenazan entre sí si hay un bloque entre ellas.)

G7 Sea $D$ un punto interior del triángulo acutángulo $ABC$ con $AB > AC$ tal que $\angle DAB = \angle CAD.$ El punto $E$ del segmento $AC$ satisface $\angle ADE =\angle BCD,$ el punto $F$ del segmento $AB$ satisface $\angle FDA =\angle DBC,$ y el punto $X$ de la recta $AC$ satisface $CX = BX.$ Sean $O_1$ y $O_2$ los circuncentros de los triángulos $ADC$ y $EXD,$ respectivamente. Demuestre que las rectas $BC, EF,$ y $O_1O_2$ son concurrentes.

2 Sean ${\cal C}_1$ y ${\cal C}_2$ circunferencias concéntricas, con ${\cal C}_2$ en el interior de ${\cal C}_1$. Desde un punto $A$ sobre ${\cal C}_1$ se traza la tangente $AB$ a ${\cal C}_2$ (con $B\in {\cal C}_2$). Sea $C$ el segundo punto de intersección de $AB$ con ${\cal C}_1$, y sea $D$ el punto medio de $AB$. Una recta que pasa por $A$ interseca a ${\cal C}_2$ en $E$ y $F$ de modo que las mediatrices de $DE$ y $CF$ se intersecan en un punto $M$ sobre $AB$. Encuentra, con demostración, la razón $AM/MC$.