Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 3
Para un entero positivo $n$, dos jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: Dado una pila de $s$ piedras, los jugadores se turnan alternativamente con $A$ yendo primero. En cada turno, el jugador puede tomar una piedra, o un número primo de piedras, o un múltiplo positivo de $n$ piedras. El ganador es el que toma la última piedra. Asumiendo que tanto $A$ como $B$ juegan perfectamente, ¿para cuántos valores de $s$ el jugador $A$ no puede ganar?
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 2
En un país con $n$ pueblos, todos los vuelos directos son de destinos dobles (ida y vuelta). Hay $r>2014$ rutas entre diferentes pares de pueblos, que no incluyen más de una parada intermedia (la dirección de cada ruta importa). Encuentra el valor mínimo posible de $n$ y el mínimo posible de $r$ para ese valor de $n$.
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 1
Hay algunos números reales en la pizarra (al menos dos). En cada paso, elegimos dos de ellos, por ejemplo $a$ y $b$, y luego los reemplazamos con $\frac{ab}{a+b}$. Continuamos hasta que haya un número. Demuestra que el último número no depende de en qué orden elegimos los números para borrar.
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 9
Sea $n$ un entero positivo y sean $x_1, \ldots, x_n, y_1, \ldots, y_n$ números reales positivos tales que $x_1+\ldots+x_n=y_1+\ldots+y_n=1$ . Demuestra que: $$|x_1-y_1|+\ldots+|x_n-y_n|\leq 2-\underset{1\leq i\leq n}{min} \;\dfrac{x_i}{y_i}-\underset{1\leq i\leq n}{min} \;\dfrac{y_i}{x_i}$$
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 8
Sean $\displaystyle {x, y, z}$ números reales positivos tales que $\displaystyle {xyz = 1}$ . Demuestra la desigualdad: $$\displaystyle{\dfrac{1}{x\left(ay+b\right)}+\dfrac{1}{y\left(az+b\right)}+\dfrac{1}{z\left(ax+b\right)}\geq 3}$$
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 7
$a,b,c\in\mathbb{R^+}$ y $a^2+b^2+c^2=48$ . Demuestra que \[a^2\sqrt{2b^3+16}+b^2\sqrt{2c^3+16}+c^2\sqrt{2a^3+16}\le24^2\]
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 6
Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestra que \[\left((3a^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{b}\right)^2\right)\left((3b^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{c}\right)^2\right)\left((3c^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{a}\right)^2\right)\geq 48^3\]
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 5
Sean $x,y$ y $z$ números reales no negativos que satisfacen la ecuación $x+y+z=xyz$ . Demuestra que $2(x^2+y^2+z^2)\geq3(x+y+z)$ .
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 4
Con las condiciones $a,b,c\in\mathbb{R^+}$ y $a+b+c=1$ , demuestra que $$\frac{7+2b}{1+a}+\frac{7+2c}{1+b}+\frac{7+2a}{1+c}\geq\frac{69}{4}$$
Prueba de Selección de Equipos JBMO de Grecia 2014 Problema 2
Sean $a, b, c$ números reales positivos tales que $abc = \dfrac {1} {8}$ . Demuestra la desigualdad: $$a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + a ^ 2b ^ 2 + b ^ 2c ^ 2 + c ^ 2a ^ 2 \geq \dfrac {15} {16}$$ ¿Cuándo se cumple la igualdad?