Resolver en números reales positivos: $n+ \lfloor \sqrt{n} \rfloor+\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor=2014$

En la pizarra están escritos $100$ números reales positivos mutuamente diferentes, tales que para cualesquiera tres números diferentes $a, b, c$, $a^2 + bc$ es un entero. Demuestra que para cualesquiera dos números $x, y$ de la pizarra, el número $\frac{x}{y}$ es racional.

En cada cuadrado de la tabla cuadrada de $100\times 100$, escribe $1, 2$ o $3$. Considera todas las subtablas $m \times n$, donde $m = 2$ y $n = 2$. Una subtabla se llamará equilibrada si tiene en sus cajas de esquina de cuatro cajas de números idénticos. Para un número $k$ tan grande, demuestra que siempre podemos encontrar $k$ subtablas equilibradas, de las cuales ninguna se superpone, es decir, no tienen una caja común.

Bolek dibuja un trapecio $ABCD$ ( $AB // CD$ ) en la pizarra, con su línea media $EF$. El punto de intersección de su diagonal $AC, BD$ se denota por $P$, y su proyección rectangular en la línea $AB$ se denota por $Q$. Lolek, queriendo molestar a Bolek, borró todo de la pizarra excepto los segmentos $EF$ y $PQ$. Cuando Bolek lo vio, quiso completar el dibujo y dibujar el trapecio original, pero no sabía cómo hacerlo. ¿Puedes ayudar a Bolek?

¿Cuántos números de $8$ dígitos son $*2*0*1*7$, donde cuatro números desconocidos son reemplazados por estrellas, que son divisibles por $7$?

Decide si existe un hexágono convexo con todos los lados mayores que $1$ y todas sus nueve diagonales son menores que $2$ en longitud.

Decide si existen primos $p, q, r$ tales que $(p^2 + p) (q^2 + q) (r^2 + r)$ es un cuadrado de un entero.

Cada campo de la tabla $(mn + 1) \times (mn + 1)$ contiene un número real del intervalo $[0, 1]$. La suma de los números en cada sección cuadrada de la tabla con dimensiones $n x n$ es igual a $n$. Determina qué tan grande puede ser la suma de todos los números en la tabla.

Dado un triángulo rectángulo $ABC$ con perímetro $2$, con $\angle B=90^o$. El punto $S$ es el centro del excírculo al lado $AB$ del triángulo y $H$ es la intersección de las alturas del triángulo $ABS$. Determina la longitud posible más pequeña del segmento $HS$.

Demuestra que para todos los números reales $x, y$ se cumple $(x^2 + 1)(y^2 + 1) \ge 2(xy - 1)(x + y)$. ¿Para qué enteros $x, y$ se cumple la igualdad?