Sea $k$ un entero no negativo. Un bosque consiste en árboles enraizados (i. e. orientados). Cada vértice del bosque es una hoja o tiene dos sucesores. Un vértice $v$ se llama un sucesor extendido de un vértice $u$ si hay una cadena de vértices $u_{0}=u$ , $u_{1}$ , $u_{2}$ , ..., $u_{t-1}$ , $u_{t}=v$ con $t>0$ tal que el vértice $u_{i+1}$ es un sucesor del vértice $u_{i}$ para cada entero $i$ con $0\leq i\leq t-1$ . Un vértice se llama dinástico si tiene dos sucesores y cada uno de estos sucesores tiene al menos $k$ sucesores extendidos. Demostrar que si el bosque tiene $n$ vértices, entonces hay a lo sumo $\frac{n}{k+2}$ vértices dinásticos.

Una casa tiene un número par de lámparas distribuidas entre sus habitaciones de tal manera que hay al menos tres lámparas en cada habitación. Cada lámpara comparte un interruptor con exactamente otra lámpara, no necesariamente de la misma habitación. Cada cambio en el interruptor compartido por dos lámparas cambia sus estados simultáneamente. Demostrar que para cada estado inicial de las lámparas existe una secuencia de cambios en algunos de los interruptores al final de los cuales cada habitación contiene lámparas que están encendidas así como lámparas que están apagadas.

Hay $ n$ marcadores, cada uno con un lado blanco y el otro lado negro. Al principio, estos $ n$ marcadores están alineados en una fila de manera que sus lados blancos están todos hacia arriba. En cada paso, si es posible, elegimos un marcador cuyo lado blanco esté hacia arriba (pero no uno de los marcadores más externos), lo quitamos e invertimos el marcador más cercano a la izquierda y también invertimos el marcador más cercano a la derecha. Demostrar que, mediante una secuencia finita de tales pasos, se puede lograr un estado con sólo dos marcadores restantes si y sólo si $ n - 1$ no es divisible por $ 3$ .

Encuentre todos los enteros positivos $ n$ tales que existe un único entero $ a$ tal que $ 0\leq a < n!$ con la siguiente propiedad: \[ n!\mid a^n + 1 \]

Sean $ a$ , $ b$ , $ c$ , $ d$ , $ e$ , $ f$ enteros positivos y sea $ S = a+b+c+d+e+f$ . Suponga que el número $ S$ divide a $ abc+def$ y $ ab+bc+ca-de-ef-df$ . Demuestre que $ S$ es compuesto.

Sea $a_1,a_2,\ldots$ una secuencia de enteros con infinitos términos positivos y negativos. Suponga que para cada entero positivo $n$ los números $a_1,a_2,\ldots,a_n$ dejan $n$ restos diferentes al dividirlos por $n$. Demuestre que cada entero ocurre exactamente una vez en la secuencia $a_1,a_2,\ldots$

Determine todos los enteros positivos relativamente primos a todos los términos de la secuencia infinita \[ a_n=2^n+3^n+6^n -1,\ n\geq 1. \]

Sea $n > 2$. Muestra que existe un conjunto de $2^{n-1}$ puntos en el plano, no tres colineales, tal que ningún $2n$ forma un $2n$-gono convexo.

Dos jugadores juegan alternativamente en una cuadrícula cuadrada infinita. El primer jugador coloca una $X$ en una celda vacía y el segundo jugador coloca una $O$ en una celda vacía. El primer jugador gana si obtiene $11$ $X$'s adyacentes en una línea, horizontal, vertical o diagonalmente. Muestra que el segundo jugador siempre puede evitar que el primer jugador gane.

5 chicas están sentadas en una mesa redonda. Inicialmente una chica tiene $n$ fichas. En cada turno, una chica que tiene más de una ficha pasa una ficha a cada una de sus vecinas.\na.) Muestra que si $n < 1994$, el juego debe terminar.\nb.) Muestra que si $n = 1994$ no puede terminar.