19 Sea $(F_n)_{n\geq 1}$ la sucesión de Fibonacci $F_1 = F_2 = 1, F_{n+2} = F_{n+1} + F_n (n \geq 1),$ y $P(x)$ el polinomio de grado $990$ que satisface \[ P(k) = F_k, \qquad \text{ para } k = 992, . . . , 1982.\] Demuestra que $P(1983) = F_{1983} - 1.$

20 Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de $n$ ecuaciones en $n$ variables: \[\begin{array}{c}\ x_1|x_1| - (x_1 - a)|x_1 - a| = x_2|x_2|,x_2|x_2| - (x_2 - a)|x_2 - a| = x_3|x_3|,\ \vdots \ x_n|x_n| - (x_n - a)|x_n - a| = x_1|x_1|\end{array}\] donde $a$ es un número dado. Amir

21 Encuentra el mayor entero menor o igual que $\sum_{k=1}^{2^{1983}} k^{\frac{1}{1983} -1}.$ Amir

24 Sea $d_n$ el último dígito distinto de cero de la representación decimal de $n!$. Demuestra que $d_n$ es aperiódico; es decir, no existen $T$ y $n_0$ tales que para todo $n \geq n_0$, $d_{n+T} = d_n$. Amir

22 Sea $n$ un entero positivo que tiene al menos dos factores primos distintos. Demuestra que existe una permutación $a_1, a_2, \dots , a_n$ de los enteros $1, 2, \dots , n$ tal que \[\sum_{k=1}^{n} k \cdot \cos \frac{2 \pi a_k}{n}=0.\] Amir

23 Sea $A$ uno de los dos puntos distintos de intersección de dos circunferencias coplanares desiguales $C_1$ y $C_2$ con centros $O_1$ y $O_2$ respectivamente. Una de las tangentes comunes a las circunferencias toca a $C_1$ en $P_1$ y a $C_2$ en $P_2$, mientras que la otra toca a $C_1$ en $Q_1$ y a $C_2$ en $Q_2$. Sea $M_1$ el punto medio de $P_1Q_1$ y $M_2$ el punto medio de $P_2Q_2$. Demuestra que $\angle O_1AO_2=\angle M_1AM_2$.

2 Ali Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, descubre que si la coloca plana en el piso de cualquiera de sus almacenes, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Si las dos habitaciones tienen dimensiones de 38 pies por 55 pies y 50 pies por 55 pies, ¿cuáles son las dimensiones de la alfombra?

1 $ ABC$ es un triángulo, la bisectriz del ángulo $ A$ corta a la circunferencia circunscrita del triángulo $ ABC$ en $ A_1$ , los puntos $ B_1$ y $ C_1$ se definen de manera similar. Sea $ AA_1$ que corta a las líneas que bisecan los dos ángulos externos en $ B$ y $ C$ en $ A_0$ . Define $ B_0$ y $ C_0$ de manera similar. Demuestra que el área del triángulo $ A_0B_0C_0 = 2 \cdot$ área del hexágono $ AC_1BA_1CB_1 \geq 4 \cdot$ área del triángulo $ ABC$ .

6 Las paralelas a los lados de un triángulo que pasan por un punto interior dividen el interior del triángulo en $6$ partes con las áreas marcadas como en la figura. Muestre que $\frac{a}{\alpha}+\frac{b}{\beta}+\frac{c}{\gamma}\ge \frac{3}{2}$ https://cdn.artofproblemsolving.com/attachments/a/a/b0a85df58f2994b0975b654df0c342d8dc4d34.png

N4 Una liebre y una tortuga corren en la misma dirección, a velocidades constantes pero distintas, alrededor de la base de una torre cuadrada alta. Parten juntas desde el mismo vértice, y la carrera termina cuando ambas regresan al vértice inicial simultáneamente por primera vez. Supón que la liebre corre con velocidad 1, y la tortuga con velocidad menor que 1. ¿Para qué números racionales $q{}$ es cierto que, si la tortuga corre con velocidad $q{}$ , la fracción de toda la carrera durante la cual la tortuga puede ver a la liebre también es $q{}$ ?