3 Ali Barber, el comerciante de alfombras, tiene una pieza rectangular de alfombra cuyas dimensiones son desconocidas. Desafortunadamente, su cinta métrica está rota y no tiene otros instrumentos de medición. Sin embargo, descubre que si la coloca plana en el piso de cualquiera de sus dos almacenes, entonces cada esquina de la alfombra toca una pared diferente de esa habitación. Él sabe que los lados de la alfombra son números enteros de pies y que sus dos almacenes tienen la misma longitud (desconocida), pero anchos de 38 pies y 50 pies respectivamente. ¿Cuáles son las dimensiones de la alfombra?

4 Demuestra que $ \forall n > 1, n \in \mathbb{N}$ la ecuación \[ \sum^n_{k=1} \frac{x^k}{k!} + 1 = 0\] no tiene raíces racionales.

5 Encuentra las raíces \( r_i \in \mathbb{R} \) del polinomio \[ p(x) = x^n + n \cdot x^{n-1} + a_2 \cdot x^{n-2} + \ldots + a_n\] que satisfacen \[ \sum^{16}_{k=1} r^{16}_k = n.\]

5 Sea $ m > 1$ un entero, $ n$ un número impar que satisface $ 3\le n < 2m,$ el número $ a_{i,j} (i,j\in N, 1\le i\le m, 1\le j\le n)$ satisface $ (1)$ para cualquier $ 1\le j\le n, a_{1,j},a_{2,j},\cdots,a_{m,j}$ es una permutación de $ 1,2,3,\cdots,m; (2)$ para cualquier $ 1 < i\le m, 1\le j\le n - 1, |a_{i,j} - a_{i,{j + 1}}|\le 1$ se cumple. Halle el valor mínimo de $ M$ , donde $ M = max_{1 < i < m}\sum_{j = 1}^n{a_{i,j}}.$ Fang-jh

8 Sea $ R$ un rectángulo que es la unión de un número finito de rectángulos $ R_i,$ $ 1 \leq i \leq n,$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) Los lados de cada rectángulo $ R_i$ son paralelos a los lados de $ R.$ (ii) Los interiores de cualesquiera dos rectángulos distintos $ R_i$ son disjuntos. (iii) Cada rectángulo $ R_i$ tiene al menos un lado de longitud entera. Demuestra que $ R$ tiene al menos un lado de longitud entera. Variante: El mismo problema pero con paralelepípedos rectangulares que tengan al menos un lado entero.

7 Demuestra que cualesquiera dos puntos dentro de un $ n-$ágono regular $ E$ pueden unirse mediante dos arcos circulares contenidos en $ E$ que se encuentren formando un ángulo de al menos $ \left(1 - \frac{2}{n} \right) \cdot \pi.$

10 Sea $ g: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ , $ \omega \in \mathbb{C}$ , $ a \in \mathbb{C}$ , $ \omega^3 = 1$ , y $ \omega \ne 1$ . Demuestra que existe una y solo una función $ f: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$ tal que \[ f(z) + f(\omega z + a) = g(z),z\in \mathbb{C} \]

5 Halle todos los enteros $n$ tales que se cumple la siguiente propiedad: para cualesquiera números reales positivos $a,b,c,x,y,z$ , con $max(a,b,c,x,y,z)=a$ , $a+b+c=x+y+z$ y $abc=xyz$ , la desigualdad $$a^n+b^n+c^n \ge x^n+y^n+z^n$$ se cumple.

6 Determine si existe o no una progresión aritmética formada por 40 términos, cada uno de cuyos términos se puede escribir en la forma $ 2^m + 3^n$ , donde $ m,n$ son enteros no negativos. Fang-jh

20 Sea $ R$ un rectángulo que es la unión de un número finito de rectángulos $ R_i,$ $ 1 \leq i \leq n,$ que satisfacen las siguientes condiciones: (i) Los lados de todo rectángulo $ R_i$ son paralelos a los lados de $ R.$ (ii) Los interiores de cualesquiera dos rectángulos distintos $ R_i$ son disjuntos. (iii) Cada rectángulo $ R_i$ tiene al menos un lado de longitud entera. Demuestre que $ R$ tiene al menos un lado de longitud entera. Variante: El mismo problema pero con paralelepípedos rectangulares que tienen al menos un lado entero.