4 Sea $C$ un círculo de radio $R$ y centro $O$, y $S$ un punto fijo en el interior de $C$. Sean $AA'$ y $BB'$ cuerdas perpendiculares que pasan por $S$. Considere los rectángulos $SAMB$, $SBN'A'$, $SA'M'B'$ y $SB'NA$. Encuentre el conjunto de todos los puntos $M$, $N'$, $M'$ y $N$ cuando $A$ se mueve a lo largo de todo el círculo.

3 Sea $PQRS$ un cuadrilátero cíclico tal que los segmentos $PQ$ y $RS$ no son paralelos. Considere el conjunto de círculos que pasan por $P$ y $Q$, y el conjunto de círculos que pasan por $R$ y $S$. Determine el conjunto $A$ de puntos de tangencia de los círculos en estos dos conjuntos.

2 Sea $ P$ un punto en el interior de un triángulo $ ABC$ tal que \[ \angle APB - \angle ACB = \angle APC - \angle ABC. \] Sean $ D$ y $ E$ los incentros de los triángulos $ APB$ y $ APC$ , respectivamente. Demuestre que las rectas $ AP$ , $ BD$ y $ CE$ concurren en un punto.

3 Se dice que una sucesión de números reales $a_0, a_1, . . .$ es buena si se cumplen las siguientes tres condiciones. (i) El valor de $a_0$ es un entero positivo. (ii) Para cada entero no negativo $i$ tenemos $a_{i+1} = 2a_i + 1 $ o $a_{i+1} =\frac{a_i}{a_i + 2} $. (iii) Existe un entero positivo $k$ tal que $a_k = 2014$. Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que existe una sucesión buena $a_0, a_1, . . .$ de números reales con la propiedad de que $a_n = 2014$. Propuesto por Wang Wei Hua, Hong Kong

4 Sea $n$ un entero positivo. Considere $2n$ rectas distintas en el plano, de las cuales ninguna es paralela a otra. De las $2n$ rectas, $n$ están coloreadas de azul y las otras $n$ están coloreadas de rojo. Sea $\mathcal{B}$ el conjunto de todos los puntos en el plano que yacen sobre al menos una recta azul, y $\mathcal{R}$ el conjunto de todos los puntos en el plano que yacen sobre al menos una recta roja. Demuestre que existe un círculo que interseca a $\mathcal{B}$ en exactamente $2n - 1$ puntos, y que también interseca a $\mathcal{R}$ en exactamente $2n - 1$ puntos. Propuesto por Pakawut Jiradilok y Warut Suksompong, Tailandia

48 Dada una sucesión finita de números complejos $c_1, c_2, \ldots , c_n$, demuestre que existe un entero $k$ ($1 \leq k \leq n$) tal que para toda sucesión finita de números reales $a_1, a_2, \ldots, a_n$ con $1 \geq a_1 \geq a_2 \geq \cdots \geq a_n \geq 0$, se cumple la siguiente desigualdad: \[\left| \sum_{m=1}^n a_mc_m \right| \leq \left| \sum_{m=1}^k c_m \right|.\] Amir

50 Sea $O$ el punto medio del eje de un cilindro circular recto. Sean $A$ y $B$ puntos diametralmente opuestos de una base, y $C$ un punto del otro círculo base que no pertenece al plano $OAB$. Demuestre que la suma de los ángulos diedros del triedro $OABC$ es igual a $2\pi$. Amir

9 Sea la sucesión compleja \(\{z_n\}\) que satisface: \(z_1 = 0, \, z_2 = i\), y para cualquier entero \(n \geq 3\), \[z_n = 3i \cdot \overline{z_{n-1}} - 2z_{n-2}.\] Denotemos \(z = z_1 + z_2 + \cdots + z_{2025}\). Encuentre la parte imaginaria de \(z\). Propuesto por Tianqin Li ys-lg

45 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo y dibuje los triángulos regulares $ABM, CDP, BCN, ADQ$, los dos primeros hacia el exterior y los otros dos hacia el interior. Demuestre que $MN = AC$. ¿Qué se puede decir sobre el cuadrilátero $MNPQ$? Amir

11 Sean \( z_1, z_2\in\mathbb C \) tales que \( |z_1 + 2z_2| \le 1 \) y \( |z_1^2+z_1z_2 + z_2^2| \le 1 \). Determine el valor máximo de \( \max\{|z_1|, |z_2|\} \). Propuesto por Yiyan Lin