4 Los enteros positivos $ a$ y $ b$ son tales que los números $ 15a + 16b$ y $ 16a - 15b$ son ambos cuadrados de enteros positivos. ¿Cuál es el menor valor posible que puede tomar el menor de estos dos cuadrados?

2 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que $$\frac{a}{\sqrt{(2a+b)(2a+c)}} +\frac{b}{\sqrt{(2b+c)(2b+a)}} +\frac{c}{\sqrt{(2c+a)(2c+b)}} \le 1 $$

2 Sea $ MN$ una recta paralela al lado $ BC$ de un triángulo $ ABC$ , con $ M$ en el lado $ AB$ y $ N$ en el lado $ AC$ . Las rectas $ BN$ y $ CM$ se cortan en el punto $ P$ . Los circuncírculos de los triángulos $ BMP$ y $ CNP$ se cortan en dos puntos distintos $ P$ y $ Q$ . Demuestre que $ \angle BAQ = \angle CAP$ . Liubomir Chiriac, Moldova

1 Encuentre el entero positivo $n$ más pequeño tal que, en una cuadrícula infinita, la unión de cualesquiera $100$ cuadrados de $2 \times 2$ siempre pueda ser cubierta por $n$ cuadrados de $2 \times 2$ disjuntos dos a dos. Propuesto por Xingtong Guo

1 Sea $ABC$ un triángulo, y sea $D$ un punto en el lado $BC$. Una recta que pasa por $D$ corta al lado $AB$ en $X$ y a la semirrecta $AC$ en $Y$. El circuncírculo del triángulo $BXD$ corta al circuncírculo $\omega$ del triángulo $ABC$ nuevamente en el punto $Z$ distinto del punto $B$. Las rectas $ZD$ y $ZY$ cortan a $\omega$ nuevamente en $V$ y $W$ respectivamente. Demuestre que $AB = V W$. Propuesto por Warut Suksompong, Tailandia.

32 La función $f(n)$ está definida sobre los enteros positivos y toma valores enteros no negativos. $f(2)=0, f(3)>0, f(9999)=3333$ y para todo $m, n$: \[ f(m+n)-f(m)-f(n)=0 \text{ o } 1. \] Determine $f(1982)$.

5 Sea $ABCDEF$ un hexágono convexo tal que $AB$ es paralelo a $DE$, $BC$ es paralelo a $EF$ y $CD$ es paralelo a $FA$. Sean $R_{A}, R_{C}, R_{E}$ los circunradios de los triángulos $FAB, BCD, DEF$, respectivamente, y sea $P$ el perímetro del hexágono. Demuestre que \[ R_{A} + R_{C} + R_{E} \geq \frac{P}{2}. \]

3 Un rectángulo de $9 \times 12$ está dividido en cuadrados unitarios. Los centros de todos los cuadrados unitarios, excepto los cuatro cuadrados de las esquinas y los ocho cuadrados que comparten un lado con uno de ellos, están coloreados de rojo. ¿Es posible etiquetar estos centros rojos $C_1, C_2, \ldots, C_{96}$ de tal manera que se cumplan las dos condiciones siguientes: i) las distancias $C_1C_2, \ldots, C_{95}C_{96}, C_{96}C_1$ sean todas iguales a $\sqrt{13}$, ii) la línea quebrada cerrada $C_1C_2\ldots C_{96}C_1$ tenga un centro de simetría? Bulgaria

39 Sea $S$ el círculo unitario con centro $O$ y sean $P_1, P_2,\ldots, P_n$ puntos de $S$ tales que la suma de los vectores $v_i=\stackrel{\longrightarrow}{OP_i}$ es el vector nulo. Demuestre que la desigualdad $\sum_{i=1}^n XP_i \geq n$ se cumple para todo punto $X$. Amir

28 Sea $(u_1, \ldots, u_n)$ una $n$-tupla ordenada. Para cada $k, 1 \leq k \leq n$, defina $v_k=\sqrt[k]{u_1u_2 \cdots u_k}$. Demuestre que \[\sum_{k=1}^n v_k \leq e \cdot \sum_{k=1}^n u_k.\] ($e$ es la base del logaritmo natural). Amir