1 Se nos da un entero positivo $ r$ y un tablero rectangular $ ABCD$ con dimensiones $ AB = 20, BC = 12$. El rectángulo está dividido en una cuadrícula de $ 20 \times 12$ cuadrados unitarios. Se permiten los siguientes movimientos en el tablero: uno puede moverse de un cuadrado a otro solo si la distancia entre los centros de los dos cuadrados es $ \sqrt {r}$. La tarea consiste en encontrar una sucesión de movimientos que lleve desde el cuadrado que tiene a $ A$ como vértice hasta el cuadrado que tiene a $ B$ como vértice. (a) Demuestre que la tarea no puede realizarse si $ r$ es divisible por 2 o 3. (b) Demuestre que la tarea es posible cuando $ r = 73$. (c) ¿Puede realizarse la tarea cuando $ r = 97$?

36 Sea $A_{1}A_{2}A_{3}$ un triángulo no isósceles con lados $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$, donde el lado $a_{i}$ es opuesto al vértice $A_{i}$. Sea $M_{i}$ el punto medio del lado $a_{i}$, y sea $T_{i}$ el punto donde el círculo inscrito del triángulo $A_{1}A_{2}A_{3}$ toca al lado $a_{i}$. Denotemos por $S_{i}$ la reflexión del punto $T_{i}$ respecto a la bisectriz del ángulo interior $A_{i}$. Demuestre que las rectas $M_{1}S_{1}$, $M_{2}S_{2}$ y $M_{3}S_{3}$ son concurrentes.

4 Sea $n \geq 3$ un entero. Hay $n$ celdas en un círculo, y a cada celda se le asigna $0$ o $1$. Hay un gallo en una de estas celdas, y repite la siguiente operación: $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $0$, cambia el número asignado a $1$ y se mueve a la siguiente celda en sentido antihorario. $\bullet$ Si el gallo está en una celda asignada con $1$, cambia el número asignado a $0$ y se mueve a la celda siguiente a la inmediata en sentido antihorario. Demuestre que la siguiente afirmación se cumple después de un número suficientemente grande de operaciones: Si el gallo está en una celda $C$, entonces el gallo dará la vuelta al círculo exactamente tres veces, deteniéndose de nuevo en $C$. Además, cada celda tendría asignado el mismo número que tenía asignado justo antes de que el gallo diera la vuelta al círculo tres veces. Aiden-1089

7 En una reunión de $2025$ personas, se va a jugar un juego. Cada persona, independientemente de las demás, elige a otra persona del grupo para que sea su "objetivo de bofetada". Cada persona desconoce a quién han elegido los demás. Una vez realizadas las elecciones, se selecciona un orden aleatorio de estos individuos. Las personas, en el orden especificado, se insertan en una fila. La $i\text{-ésima}$ persona en entrar tiene $i$ opciones para su posición en la fila entre las personas anteriores. El objetivo de cada persona es terminar directamente detrás de su objetivo de bofetada. Por lo tanto, cada persona, entre todas las posiciones posibles, elige aquella que maximiza su probabilidad de lograr su objetivo. Además, cada persona sabe que cada una de las otras personas también persigue su propio objetivo. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona determinada logre su objetivo?

3 Sin solaparse, se colocan baldosas hexagonales dentro de un triángulo rectángulo isósceles de área $1$ cuya hipotenusa es horizontal. Las baldosas son similares a la figura de abajo, pero no necesariamente todas del mismo tamaño. [asy] unitsize(.85cm); draw((0,0)--(1,0)--(1,1)--(2,2)--(-1,2)--(0,1)--(0,0),linewidth(1)); draw((0,2)--(0,1)--(1,1)--(1,2),dashed); label("\footnotesize $a$",(0.5,0),S); label("\footnotesize $a$",(0,0.5),W); label("\footnotesize $a$",(1,0.5),E); label("\footnotesize $a$",(0,1.5),E); label("\footnotesize $a$",(1,1.5),W); label("\footnotesize $a$",(-0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(0.5,2),N); label("\footnotesize $a$",(1.5,2),N); [/asy] El lado más largo de cada baldosa es paralelo a la hipotenusa del triángulo, y el lado horizontal de longitud $a$ de cada baldosa se encuentra entre este lado más largo de la baldosa y la hipotenusa del triángulo. Además, si el lado más largo de una baldosa está más lejos de la hipotenusa que el lado más largo de otra baldosa, entonces el tamaño de la primera baldosa es mayor o igual al tamaño de la segunda baldosa. Encuentre el valor más pequeño de $\lambda$ tal que toda configuración de baldosas de este tipo tenga un área total menor que $\lambda$.

4 Un conjunto de 1990 personas se divide en subconjuntos disjuntos de tal manera que 1. Nadie en un subconjunto conoce a todos los demás en el mismo subconjunto, 2. Entre cualesquiera tres personas en un subconjunto, siempre hay al menos dos que no se conocen entre sí, y 3. Para cualesquiera dos personas en un subconjunto que no se conocen entre sí, existe exactamente una persona en el mismo subconjunto que conoce a ambas. (a) Demuestre que dentro de cada subconjunto, cada persona tiene el mismo número de conocidos. (b) Determine el número máximo posible de subconjuntos. Nota: Se entiende que si una persona $A$ conoce a la persona $B$, entonces la persona $B$ conocerá a la persona $A$; un conocido es alguien a quien se conoce. Se asume que toda persona se conoce a sí misma.

13 Una pirámide truncada $n$-gonal regular está circunscrita alrededor de una esfera. Denotemos las áreas de la base y de las superficies laterales de la pirámide por $S_1, S_2$ y $S$, respectivamente. Sea $\sigma$ el área del polígono cuyos vértices son los puntos de tangencia de la esfera y las caras laterales de la pirámide. Demuestre que \[\sigma S = 4S_1S_2 \cos^2 \frac{\pi}{n}.\] Amir

5 Dos ardillas, Bushy y Jumpy, han recolectado 2021 nueces para el invierno. Jumpy numera las nueces del 1 al 2021 y cava 2021 pequeños agujeros en un patrón circular en el suelo alrededor de su árbol favorito. A la mañana siguiente, Jumpy nota que Bushy había colocado una nuez en cada agujero, pero no había prestado atención a la numeración. Descontento, Jumpy decide reordenar las nueces realizando una secuencia de 2021 movimientos. En el movimiento $k$-ésimo, Jumpy intercambia las posiciones de las dos nueces adyacentes a la nuez $k$. Demuestre que existe un valor de $k$ tal que, en el movimiento $k$-ésimo, Jumpy intercambia algunas nueces $a$ y $b$ tales que $a<k<b$.

4 (a) Encuentre el reordenamiento $\{a_1, \dots , a_n\}$ de $\{1, 2, \dots, n\}$ que maximiza \[a_1a_2 + a_2a_3 + \cdots + a_na_1 = Q.\] (b) Encuentre el reordenamiento que minimiza $Q.$ Amir

24 Demuestre que si una persona a tiene infinitos descendientes (hijos, sus hijos, etc.), entonces a tiene una sucesión infinita $a_0, a_1, \ldots$ de descendientes (es decir, $a = a_0$ y para todo $n \geq 1$, $a_{n+1}$ es siempre un hijo de $a_n$). Se asume que nadie puede tener infinitos hijos. Variante 1. Demuestre que si a tiene infinitos ancestros, entonces a tiene una sucesión infinita descendente de ancestros (es decir, $a_0, a_1, \ldots$ donde $a = a_0$ y $a_n$ es siempre un hijo de $a_{n+1}$). Variante 2. Demuestre que si alguien tiene infinitos ancestros, entonces no todas las personas pueden descender de A(dam) y E(ve). Amir