3 Sea $S$ un conjunto finito de enteros positivos que tiene la siguiente propiedad: si $x$ es un elemento de $S$, entonces también lo son todos los divisores positivos de $x$. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es bueno si, siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ es una potencia de un número primo. Un subconjunto no vacío $T$ de $S$ es malo si, siempre que $x,y\in T$ y $x<y$, el cociente $y/x$ no es una potencia de un número primo. Un conjunto de un solo elemento se considera tanto bueno como malo. Sea $k$ el mayor tamaño posible de un subconjunto bueno de $S$. Demuestre que $k$ es también el menor número de subconjuntos malos disjuntos dos a dos cuya unión es $S$.

1 Sea $ABC$ un triángulo isósceles, con $AB=AC$. Una recta $r$ que pasa por el incentro $I$ de $ABC$ corta a los lados $AB$ y $AC$ en los puntos $D$ y $E$, respectivamente. Sean $F$ y $G$ puntos sobre $BC$ tales que $BF=CE$ y $CG=BD$. Demuestre que el ángulo $\angle FIG$ es constante cuando variamos la recta $r$.

2 Los números $1, 2,..., 2023$ están escritos en la pizarra en este orden. Podemos realizar repetidamente la siguiente operación con ellos: seleccionamos cualquier cantidad impar de números escritos consecutivamente y escribimos estos números en orden inverso. ¿Cuántos órdenes diferentes de estos $2023$ números podemos obtener? Ejemplo: Si comenzamos solo con los números $1, 2, 3, 4, 5, 6$, podemos realizar los siguientes pasos $$1, 2, 3, 4, 5, 6 \to 3, 2, 1, 4, 5, 6 \to 3, 6, 5, 4, 1, 2 \to 3, 6, 1, 4, 5, 2 \to ...$$

2 Decimos que un número de 20 dígitos es especial si es imposible representarlo como el producto de un número de 10 dígitos por un número de 11 dígitos. Encuentre la cantidad máxima de números consecutivos que son especiales.

1 ¿Para qué $n\ge 3$ existen enteros positivos $a_1<a_2<\cdots <a_n$ tales que: $$a_n=a_1+...+a_{n-1}, \hspace{0.5cm} \frac{1}{a_1}=\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}$$ sean ambas ciertas? Propuesto por Ivan Chan Kai Chin

1 Se da un triángulo con lados $a$ , $b$ y $c$. Denotemos por $s$ el semiperímetro, es decir $s = \frac{a + b + c}{2}$. Construya un triángulo con lados $s - a$ , $s - b$ y $s - c$. Este proceso se repite hasta que ya no se pueda construir un triángulo con las longitudes de los lados dadas. ¿Para qué triángulos originales se puede repetir este proceso indefinidamente?

2 Sea $ABC$ un triángulo con $|AB|< |AC|$. Sea $k$ el circuncírculo del $\triangle ABC$ y sea $O$ el centro de $k$. El punto $M$ es el punto medio del arco $BC$ de $k$ que no contiene a $A$. Sea $D$ la segunda intersección de la recta perpendicular desde $M$ a $AB$ con $k$, y sea $E$ la segunda intersección de la recta perpendicular desde $M$ a $AC$ con $k$. Los puntos $X$ e $Y$ son las intersecciones de $CD$ y $BE$ con $OM$, respectivamente. Denotemos por $k_b$ y $k_c$ los circuncírculos de los triángulos $BDX$ y $CEY$, respectivamente. Sean $G$ y $H$ las segundas intersecciones de $k_b$ y $k_c$ con $AB$ y $AC$, respectivamente. Denotemos por $k_a$ el circuncírculo del triángulo $AGH$. Demuestre que $O$ es el circuncentro del $\triangle O_aO_bO_c$, donde $O_a, O_b, O_c$ son los centros de $k_a, k_b, k_c$ respectivamente.

1 Sea $n$ un entero mayor o igual a $2$. Considere números reales $a_1, a_2, \dots, a_{2n}$ que satisfacen la condición \[ |a_k - a_{n+k}| \geqslant 1 \quad \text{para todo } 1 \leqslant k \leqslant n. \] Determine el valor mínimo posible de \[ (a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + \dots + (a_{2n-1} - a_{2n})^2 + (a_{2n} - a_1)^2. \]

7 Determine todas las funciones $f : \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ tales que $f$ es creciente (no necesariamente de forma estricta) y los números $f(n)+n+1$ y $f(f(n))-f(n)$ son ambos cuadrados perfectos para todo entero positivo $n$.

3 En el plano cartesiano dibujamos circunferencias de radio 1/20 centradas en cada punto de red. Demuestre que cualquier circunferencia de radio 100 en el plano cartesiano interseca al menos una de las circunferencias pequeñas. Davi